方根

乘方的逆运算

數學中,一數次方根,則。在提及實數次方根的時候,若指的是此數的次方根,則可以用根號)表示成。例如:1024的主10次方根為2,就可以記作。當時,則可以省略。定義實數的主次方根為次方根,且具有與相同的正負號的唯一實數。在偶數時,負數沒有主次方根。習慣上,將2次方根叫做平方根,將3次方根叫做立方根

方根也是的分數指數,即數次方:

符號史

最早的根號「√」源於字母「r」的變形(出自拉丁語latus的首字母,表示「邊長」),沒有線括號(即被開方數上的橫線),後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的,因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。形成了現在所熟悉的開方運算符號 

考慮在電腦中的輸入問題,有時也可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算

帶有根號的運算可由如下公式推導而得:

 
 
 

這裏的ab正數

對於所有的非零複數 ,有 個不同的複數 使得 ,所以符號 就會出現歧義(通常這樣寫是取 個值當中主幅角最小的)。 單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式轉換到形式,冪的規則仍適用(即使對分數冪),也就是

 
 
 

例如:

 

若要做加法減法,需考慮下列的概念。

 

若已可以簡化根式表示式,則加法和減法就只是的「同類項」問題。

例如

 
 
 
 


不盡根數

未經化簡的根數,一般叫做「不盡根數」(surd),可以處理為更簡單的形式。

如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧:

  •  
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  •  
  •  

無窮級數

方根可以表示為無窮級數:

 

找到所有的方根

任何數的所有的根,實數或複數的,可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式 (參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:

 

對於 ,這裏的 表示 的主 次方根。

正實數

所有   次方根,這裏的 是正實數,的複數解由如下簡單等式給出:

 

對於 ,這裏的 表示 的主 次方根。

解多項式

曾經有數學猜想,認為多項式的所有根可以用根號和四則運算來表達;但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如,方程

 

的解不能用根號表達。

要解任何n次方程,參見求根演算法

演算法

對於正數 ,可以通過以下演算法求得 的值:

  1. 猜一個 的近似值,將其作為初始值 
  2.  。記誤差為 ,即 
  3. 重複步驟2,直至絕對誤差足夠小,即: 

從牛頓法導出

 之值,亦即求方程 的根。

 ,其導函數 

牛頓法作迭代,便得

 
 
 
 

從牛頓二項式定理導出

 為迭代值, 為誤差值。

 (*),作牛頓二項式展開,取首兩項: 

調項得 

將以上結果代回(*),得遞歸公式 

參見

外部連結