柯西判據

在數學和拓撲學中，以法國數學家柯西命名的柯西判據是判斷度量空間中數列收斂性的一個依據。

滿足這個判據的數列稱為柯西序列。

當空間是完備空間的時候，滿足柯西判據等價於數列收斂。

定理的陳述

若度量空間中的一個數列滿足柯西判據：

$\lim _{n\to \infty }x_{n}\sup _{p,q>n}d(s_{p},s_{q})=0$

那麼這個數列就是一個柯西數列。

柯西判據的推論：

1.在度量空間中，收斂數列一定是柯西序列。

2.在完備的度量空間中，所有的柯西序列都是收斂的。

特殊度量空間

這個等價關係在 $\mathbb {R}$ （距離定義為絕對值時）， $\mathbb {C}$ 中（距離定義為模）， $\mathbb {R} ^{n}$ 和 $\mathbb {C} ^{n}$ 中（對任意一個模）成立。在巴拿赫空間中，所有的子空間都是完備的度量空間，等價關係對任意一個模成立。在 $\mathbb {Q}$ -賦范向量空間 $\mathbb {Q} ^{n}$ 中，若距離定義為幾何距離，則上面的推論中只有第一個成立，因為這不是完備空間。不過這時所有的柯西序列仍然收斂，只是序列極限屬於 $\mathbb {R} ^{n}$ 而不是 $\mathbb {Q} ^{n}$ 。