正則量子化

物理學中,正則量子化是多種對經典理論進行量子化數學方法中的一種;在對經典場論進行量子化時,又稱二次量子化。「正則」這個詞其實源自經典理論,指的是理論中一種特定的結構(稱作辛結構(Symplectic structure)),這樣的結構在量子理論中也被保留。這在保羅·狄拉克嘗試建構量子場論時由他首先強調。

普通的量子力學方法只能處理粒子數守恆的系統。但在相對論量子力學中,粒子可以產生和湮沒,普通量子力學的數學表述方法不再適用。二次量子化通過引入產生算符湮沒算符處理粒子的產生和湮沒,是建立相對論量子力學量子場論的必要數學手段。相比普通量子力學表述方式,二次量子化方法能夠自然而簡潔的處理全同粒子對稱性反對稱性,所以即使在粒子數守恆的非相對論多體問題中,也被廣泛應用。

為何稱作「正則」?

「正則」(canonical)具有「標準」的意思,此一稱呼是因為此方法與源於經典力學經典場論方法有強烈的關聯。在經典場論中,場φ(x, t)動力學變數,在每個時空點x, t都有值。若將之視為正則坐標,則正則動量為φ的空間導數。在經典動力學中,這些量所組成的卜瓦松括號應該為一。在量子力學中,正則坐標與正則動量都變成了算符,而卜瓦松括號變成了對易子或反對易子。運用到這樣關係的量子化即為正則量子化。

量子化的數學形式

多粒子態

在二次量子化的表述中,多粒子態簡單的以標記每個量子態上有多少個粒子來表示:

 

即「量子態1上有n1個粒子,量子態2上有n2個粒子,量子態3上有n3個粒子,……」

玻色子的二次量子化

湮沒算符

 

產生算符

 

對易關係

 

費米子的二次量子化

湮沒算符

 
 

產生算符

 
 

反對易關係

 

場算符

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