比例性質

比例性質是代數學中常用的分式性質，主要包括合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質以及它們的推廣。這四條性質多用於分式的計算和證明，以及三角函數、相似三角形、平行線分線段成比例定理的應用中。其中尤其以等比性質的應用最為廣泛。而比例的線性組合也具有多種多樣的性質。

合比性質

表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之和與第一個比例的後項的比，等於第二個比例的前後項之和與第二個比例的後項的比。

數學表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則有${\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}$。

證明

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

$\therefore {\frac {a}{b}}+1={\frac {c}{d}}+1$

$\therefore {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}$

證畢

分比性質

表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之差與第一個比例的後項的比，等於第二個比例的前後項之差與第二個比例的後項的比。

數學表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則有${\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}$。

證明

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

$\therefore {\frac {a}{b}}-1={\frac {c}{d}}-1$

$\therefore {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}$

證畢

合分比性質

表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之和與第一個比例的前後項之差的比，等於第二個比例的前後項之和與第二個比例的前後項之差的比。

數學表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則有${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$。

證明

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {bk+b}{bk-b}}={\frac {k+1}{k-1}}$

${\frac {c+d}{c-d}}={\frac {dk+d}{dk-d}}={\frac {k+1}{k-1}}$

$\therefore {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$

證畢

等比性質

表述

在一個比例等式中，兩前項之和與兩後項之和的比例與原比例相等

數學表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則有${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$。

證法一

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {bk+dk}{b+d}}=k$

$\therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

證畢

證法二

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

$\therefore {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}$

由合比性質${\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}$

$\therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {c}{d}}$

即${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

證畢

推論

已知$a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n$，且有$b_{i}\neq 0$，如果${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$，則有${\frac {\sum _{i}^{n}{a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$。

比例的線性組合

由上述性質以及其證明方法可以推廣到任意的線性組合的比例性質。例如如下兩條，分別從合分比性質和等比性質推廣得到。

合分比性質的線性組合推論

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則有${\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}$。

證明：

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}$

${\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}={\frac {\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}$

$\therefore {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}$

證畢

等比性質的線性組合推論一

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則有${\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$。

證明：

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}}=k$

$\therefore {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

證畢

等比性質的線性組合推論二

已知$a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n$，且有$b_{i}\neq 0$，如果${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$，則有${\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$。

證明：

令$k={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$，則$a_{i}=b_{i}\cdot k$

${\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}kb_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {k\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}=k$

$\therefore {\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$

證畢