矩形函數

矩形函數的定義為，

矩形函數

$\mathrm {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

也可以將它定義為 $\mathrm {rect} (\pm 1/2)$ 的值為 0、1 或者未定義的值，另外也可以用 單位階躍函數 $u(t)$ 來定義：

$\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$

或者，

$\mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-u\left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

矩形函數歸一化：

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1$

矩形函數的傅立葉變換，

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f)$

或用用歸一化Sinc函數表示為：

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$,

我們可以將三角形函數定義為兩個矩形函數的卷積：

$\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)$

如果將矩形函數當作一個概率分佈函數，那麼它的特徵函數是，

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}\,$

並且它的動差生成函數為，

$M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}}\,$

其中 $\mathrm {sinh} (t)$ 是雙曲正弦函數。

參見

• 傅立葉變換
• 方波
• 三角形函數