第一基本形式

在微分幾何中，第一基本形式（first fundamental form）是三維歐幾里得空間中一個曲面的切空間中內積，由 R³ 中標準點積誘導。它使得曲面的曲率和度量性質（比如長度與面積）可與環繞空間一致地計算。第一基本形式用羅馬數字 I 表示：

\mathrm {I} (v,w)=\langle v,w\rangle .\,

設 $X(u,v)$ 是一個參數曲面，則兩個切向量的內積為

{\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}

這裏 E, F,與 G 是第一基本形式的係數。

第一基本形式可以表示為一個對稱矩陣

\mathrm {I} (v,w)=v^{T}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}w.

進一步的記號

當第一基本形式寫成一個參數時，它表示向量與自己的內積，

\mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}.\,

第一基本形式寫成現代記法的度量張量。係數則可以寫做 $g_{ij}$ ：

\left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}

這個張量的分量是切向量 X₁ 與 X₂ 的數量積：

g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}

對 i, j = 1, 2。具體例子可見下一節。

變數變換

如果有一個曲面具有兩個表示參數 $X(u,v)$ 以及 ${\tilde {X}}({\tilde {u}},{\tilde {v}})$ ，則二者的第一基本形式的系數 $E,F,G$ 與 ${\tilde {E}},{\tilde {F}},{\tilde {G}}$ 存在一個關係:

${\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {v}}_{u}\\{\tilde {u}}_{v}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {E}}&{\tilde {F}}\\{\tilde {F}}&{\tilde {G}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}$ ，其中 ${\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}={\frac {\partial ({\tilde {u}},{\tilde {v}})}{\partial (u,v)}}$ ，所以說可以有