數學中,假設在一個集合上定義一個等價關係(用來表示),則中的某個元素等價類就是在中等價於的所有元素所形成的子集:

等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造新集合。在中的給定等價關係的所有等價類的集合表示為並叫做除以商集。這種運算可以(實際上非常不正式的)被認為是輸入集合除以等價關係的活動,所以名字「商」和這種記法都是模仿的除法。商集類似於除法的一個方面是,如果是有限的並且等價類都是等勢的,則的序是除以一個等價類的序的商。商集被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合

對於任何等價關係,都有從的一個規範投影映射,給出為。這個映射總是滿射的。在有某種額外結構的情況下,考慮保持這個結構的等價關係,接着稱這個結構是良好定義的,而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇的物件;從映射則是在這個範疇內的滿態射。參見同餘關係

例子

  • 如果 是轎車的集合,而  是「顏色相同」的等價類,則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。  自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
  • 考慮在整數集合 上的「 」 ﹝見同餘﹞等價關係:  當且僅當 偶數。這個關係精確的引發兩個等價類:  由所有偶數組成, 由所有奇數組成。在這個關係下  都表示 的同一個元素。
  • 有理數可以構造為整數的有序對  的等價類的集合, 不能為零,這裏的等價關係定義為
 當且僅當 
這裏的有序對  的等價類可以被認同於有理數 
  • 任何函數 定義在X上的等價關係,通過  當且僅當  的等價類是在 中被映射到 的所有元素的集合,就是說,類  逆像。這個等價關係叫做 
  • 給定 子群 ,我們可以定義在 上的等價關係,通過 當且僅當 。這個等價類叫做H在G中的右陪集;其中之一是 自身。它們都有同樣數目的元素(在無限 的情況下是)。如果 正規子群,則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
  • 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
  • 連續映射 同倫類是所有同倫於 的所有映射的等價類。
  • 自然語言處理中,等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如,在句子「"GE股東將投票公司傑出的CEO Jack Welch的繼任者」。「GE」和「公司」是同義的,所以構成一個等價類。對「GE股東」和「Jack Welch」有單獨的等價類。

性質

因為等價關係的  中和任何兩個等價類要麼相等要麼不相交的性質。得出X的所有等價類的集合形成 劃分:所有 的元素屬於一且唯一的等價類。反過來, 的所有劃分也定義了在 上等價關係。

它還得出等價關係的性質

 當且僅當 

如果 是在 上的等價關係,而  的元素的一個性質,使得只要 為真如果 為真,則性質 被稱為良好定義的或在關係 下「類恆定」的。常見特殊情況出現在 是從 到另一個集合 的時候;如果 蘊涵  被稱為在 下恆定的類,或簡單稱為在 下恆定。這出現在有限群的特徵理論中。對函數 的後者情況可以被表達為交換三角關係.參見不變量

參見