達布定理

實分析中,達布定理(英語:Darboux's theorem)得名於讓·加斯東·達布。達布定理說明所有的實導函數(某個實值函數的導數)都具有介值性質:實導函數對任意區間值域仍是區間。即是說,若f為可導函數,則對任意區間I,f′(I) 仍為區間。

當函數 f 是一階連續可導函數(C1)時,由介值定理,達布定理顯然成立。當導函數 f′ 不連續時,達布定理說明 f′ 仍具有介值性質。

歷史

19世紀時,大部分數學家認為介值定理已經可以刻畫出連續函數。但在1875年,讓·加斯東·達布證明這個想法是錯誤的,因為連續函數的導函數仍然具有介值性質,但不一定是連續函數。一個很常用的反例是函數:

  
  

其導數在 處並不連續。

內容

 為閉區間 上的實值可導函數,那麼對介於  之間的任意 ,存在 屬於 使得 

證明

不失一般性,我們可假設 。又設 ,則  。只需找到  上的一個零點即可。

由於  上的連續函數,由極值定理,  上達到極大值。由於 ,極大值不在 處取到。同理,由於 ,極大值也不在b處取到。設 為取到極大值的點,這時, 。於是定理得證。

參見

參考資料

  • 萬麗 , 李少琪 , 閻慶旭,《微分達布(Darboux)定理的幾種新證法及其推廣》,《數學的實踐與認識》2003年11期
  • 潘繼斌,《達布(Darboux)定理及其應用》,《湖北師範學院學報(自然科學版)》2000年01期

外部連結