早在12世紀，印度學者就已有使用階乘的概念來計算排列數的紀錄[ 3] Change ringing [ 5]
Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends [includes] the changes on all lesser numbers ... insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body.[ 6]
而符號n !克里斯蒂安·克蘭普 在1808年使用[ 8]
部分的階乘值（OEIS 數列A000142 ）
n n !
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
7003504000000000000♠ 5040
8
7004403200000000000♠ 40320
9
7005362880000000000♠ 362880
10
7006362880000000000♠ 3628 800
11
7007399168000000000♠ 39916 800
12
7008479001600000000♠ 479001 600
13
7009622702080000000♠ 6227 020 800
14
7010871782912000000♠ 87178 291 200
15
7012130767436800000♠ 1307 674 368 000
16
7013209227898880000♠ 20922 789 888 000
17
7014355687428096000♠ 355687 428 096 000
18
7015640237370572800♠ 6402 373 705 728 000
19
7017121645100408832♠ 121645 100 408 832 000
20
7018243290200817664♠ 2432 902 008 176 640 000
25
7025155112100433310♠ 1.551121 004 3331 × 1025
50
7064304140932017130♠ 3.041409 320 1713 × 1064
70
7100119785716699700♠ 1.197857 166 997 × 10100
100
7157933262154400000♠ 9.332621 544 × 10157
450
9000000000000000000♠ 1.733368 733 × 101000
7003100000000000000♠ 1000 9000000000000000000♠ 4.023872 601 × 102567
7003324900000000000♠ 3249 9000000000000000000♠ 6.412337 688 × 1010000
7004100000000000000♠ 10000 9000000000000000000♠ 2.846259 681 × 1035659
7004252060000000000♠ 25206 9000000000000000000♠ 1.205703 438 × 10100000
7005100000000000000♠ 100000 9000000000000000000♠ 2.824229 408 × 10456573
7005205023000000000♠ 205023 9000000000000000000♠ 2.503898 932 × 101000 004
7006100000000000000♠ 1000 000 9000000000000000000♠ 8.263931 688 × 105565 708
7100100000000000000♠ 10100 1010101.9981097754820
階乘原始的定義是在整數，為離散，然而在部分領域如概率論要探討到連續或其他需求（如組合數當取出的數量大於原有的數量會出現負階乘）時，則需要將階乘從正整數推廣到實數，甚至是複數。
伽馬函數將階乘函數為非整數插值 。主要線索是階乘函數的遞歸關係在連續的伽馬函數中也存在。 除了非負整數之外，還可以為非整數值定義階乘函數，但這需要使用更高級的數值分析 方法。
可以透過插值的方式將階乘兩整數之間填入數值，但其插入的數值必須也要滿足階乘的遞歸定義。一個良好的插值結果是
Γ
{\displaystyle \Gamma }
z
{\displaystyle z}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,.}
它與階乘的關係是對於任何自然數n滿足：
n
!
=
Γ
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,.}
另外，我們也可利用此式以計算任意大於-1的實數的階乘：
x
!
=
lim
N
→
∞
N
x
∏
k
=
1
N
k
x
+
k
=
∫
0
1
(
−
ln
(
t
)
)
x
d
t
.
{\displaystyle x!=\lim _{N\to \infty }N^{x}\prod _{k=1}^{N}{\frac {k}{x+k}}=\int _{0}^{1}(-\ln {(t)})^{x}\,dt\,.}
複數階乘之模與輻角的等值線 可以透過
Γ
{\displaystyle \Gamma }
複數 的階乘。右圖顯示了複數階乘之模與輻角的等值線
令
f
{\displaystyle f}
f
=
ρ
e
i
φ
=
(
x
+
i
y
)
!
=
Γ
(
x
+
i
y
+
1
)
{\displaystyle f=\rho e^{i\varphi }=(x+{\rm {i}}y)!=\Gamma (x+iy+1)}
右圖顯示了幾個模（絕對值）
ρ
{\displaystyle \rho }
φ
{\displaystyle \varphi }
−
3
≤
x
≤
3
{\displaystyle -3\leq x\leq 3}
−
2
≤
y
≤
2
{\displaystyle -2\leq y\leq 2}
φ
=
±
π
{\displaystyle \varphi =\pm \pi }
細線表示模或輻角相等之函數值的位置。在每個負整數的位置為奇異點，無法定義其模和輻角，並且在離奇異點越近的地方，等值線的密度就越密集。
在|z 泰勒級數 來計算：
z
!
=
∑
n
=
0
∞
g
n
z
n
=
1
−
γ
z
+
1
2
!
(
γ
2
+
π
2
6
)
z
2
−
1
3
!
(
γ
3
+
π
2
γ
2
+
2
ζ
(
3
)
)
z
3
+
1
4
!
(
γ
4
+
π
2
γ
2
+
3
π
4
20
+
8
ζ
(
3
)
γ
)
z
4
−
1
5
!
(
γ
5
+
5
π
2
γ
3
3
+
3
π
4
γ
4
+
(
20
γ
2
+
10
π
2
3
)
ζ
(
3
)
+
24
ζ
(
5
)
)
z
5
+
⋯
+
1
n
!
(
∫
0
∞
e
−
t
(
ln
t
)
n
d
t
)
z
n
+
⋯
≈
1
−
0.577215664
z
+
0.989055995
z
2
−
0.907479076
z
3
+
0.981728086
z
4
−
0.981995068
z
5
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}z!&=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}\,\\&=1-\gamma z+{\frac {1}{2!}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z^{2}-{\frac {1}{3!}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\pi ^{2}\gamma }{2}}+2\zeta (3)\right)z^{3}\\&+{\frac {1}{4!}}\left(\gamma ^{4}+\pi ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {3\pi ^{4}}{20}}+8\zeta (3)\gamma \right)z^{4}-{\frac {1}{5!}}\left(\gamma ^{5}+{\frac {5\pi ^{2}\gamma ^{3}}{3}}+{\frac {3\pi ^{4}\gamma }{4}}+(20\gamma ^{2}+{\frac {10\pi ^{2}}{3}})\zeta (3)+24\zeta (5)\right)z^{5}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt\right)z^{n}+\cdots \\&\approx 1-0.577215664z+0.989055995z^{2}-0.907479076z^{3}+0.981728086z^{4}-0.981995068z^{5}+\cdots \\\end{aligned}}}
其中，γ 歐拉-馬斯刻若尼常數 、ζ (z )黎曼ζ函數 。部分計算機代數的系統存在可以直接產生這些展開式系數的語法。
z
z!
實數
1、2、3、4、5
1、2、6、24、120 （OEIS 數列A000142 ）
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
π
2
≈
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx \,}
0.88622692545276
{\displaystyle 0.88622692545276}
OEIS 數列A019704 ）
複數
i
{\displaystyle i}
0.49801566811836
−
0.15494982830181
i
{\displaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181i}
OEIS 數列A212877 ）、（OEIS 數列A212878 ）
2
i
{\displaystyle 2i}
0.15190400267024
+
0.019804880162337
i
{\displaystyle 0.15190400267024+0.019804880162337i}
1
+
i
{\displaystyle 1+i}
0.65296549642017
+
0.34306583981655
i
{\displaystyle 0.65296549642017+0.34306583981655i}
四元數
j
{\displaystyle j}
0.49801566811836
−
0.15494982830181
j
{\displaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181j}
k
{\displaystyle k}
0.49801566811836
−
0.15494982830181
k
{\displaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181k}
1
+
i
+
j
{\displaystyle 1+i+j}
0.31694069797431
−
0.045151191260681
i
−
0.045151191260681
j
{\displaystyle 0.31694069797431-0.045151191260681i-0.045151191260681j}
階乘的色相環複變函數圖形 。顏色越深代表絕對值越接近零；顏色越接近白色代表絕對值趨於無窮。其中紅色為正實數、青藍色為負實數。 較大的階乘值可透過雙伽瑪函數積分的連續分數來近似，這個方法由T. J. Stieltjes於1894提出。
將階乘寫為
z
!
=
e
P
(
z
)
{\displaystyle z!=e^{P(z)}}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
P
(
z
)
=
p
(
z
)
+
ln
2
π
2
−
z
+
(
z
+
1
2
)
ln
(
z
)
,
{\displaystyle P(z)=p(z)+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-z+\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)\,,}
Stieltjes給出了其連分數值：
p
(
z
)
=
a
0
z
+
a
1
z
+
a
2
z
+
a
3
z
+
⋱
{\displaystyle p(z)={\cfrac {a_{0}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}}}
前幾項系數
a
n
{\displaystyle a_{n}}
[ 10]
n a n
0
1
12
{\displaystyle {\frac {1}{12}}}
1
1
30
{\displaystyle {\frac {1}{30}}}
2
53
210
{\displaystyle {\frac {53}{210}}}
3
195
371
{\displaystyle {\frac {195}{371}}}
4
22999
22737
{\displaystyle {\frac {22999}{22737}}}
5
29944523
19733142
{\displaystyle {\frac {29944523}{19733142}}}
6
109535241009
48264275462
{\displaystyle {\frac {109535241009}{48264275462}}}
負整數的階乘可透過階乘的遞歸 定義
n
!
=
n
×
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n\times (n-1)!}
(
n
−
1
)
!
=
n
!
n
.
{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}.}
但由於在此定義下計算負一 的階乘會出現除以零 （即
(
0
−
1
)
!
=
0
!
0
{\displaystyle (0-1)!={\frac {0!}{0}}}
透過伽瑪函數或其展開式亦可以將階乘擴展到其他能定義加法和乘法等基本運算的數學結構，如矩陣 [ 11]
矩陣 的階乘具有如下性質：
A
!
=
Γ
(
A
+
I
)
=
A
Γ
(
A
)
=
A
(
A
−
I
)
!
{\displaystyle A!=\Gamma (A+I)=A\Gamma (A)=A(A-I)!}
並且
Γ
(
I
)
=
I
{\displaystyle \Gamma (I)=I}
I
{\displaystyle I}
A
{\displaystyle A}
方陣 ，同時
A
!
{\displaystyle A!}
非奇異矩陣 [ 12]
換句話說，即矩陣
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
!
=
(
n
I
)
!
=
n
!
I
{\displaystyle A!=(nI)!=n!I}
(
n
0
0
n
)
!
=
n
!
I
=
(
n
!
0
0
n
!
)
{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}n&0\\0&n\end{smallmatrix}}{\bigr )}!=n!I={\bigl (}{\begin{smallmatrix}n!&0\\0&n!\end{smallmatrix}}{\bigr )}}
對於一個可對角化矩陣
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}}
(
a
b
c
d
)
!
=
Γ
(
(
a
+
1
b
c
d
+
1
)
)
=
1
2
Ω
(
Γ
(
λ
1
)
(
d
−
a
+
Ω
)
+
Γ
(
λ
2
)
(
a
−
d
+
Ω
)
−
2
b
(
Γ
(
λ
1
)
−
Γ
(
λ
2
)
)
−
2
c
(
Γ
(
λ
1
)
−
Γ
(
λ
2
)
)
Γ
(
λ
1
)
(
a
−
d
+
Ω
)
+
Γ
(
λ
2
)
(
d
−
a
+
Ω
)
)
{\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right.!=\Gamma \left({\bigl (}{\begin{smallmatrix}a+1&b\\c&d+1\end{smallmatrix}}{\bigr )}\right)={\frac {1}{2\Omega }}{\begin{pmatrix}\Gamma (\lambda _{1})\left(d-a+\Omega \right)+\Gamma (\lambda _{2})\left(a-d+\Omega \right)&-2b\left(\Gamma (\lambda _{1})-\Gamma (\lambda _{2})\right)\\-2c\left(\Gamma (\lambda _{1})-\Gamma (\lambda _{2})\right)&\Gamma (\lambda _{1})\left(a-d+\Omega \right)+\Gamma (\lambda _{2})\left(d-a+\Omega \right)\end{pmatrix}}}
[ 12] 其中，
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
(
a
+
1
b
c
d
+
1
)
{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}a+1&b\\c&d+1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}
特徵值 ，分別為
λ
1
=
1
+
(
a
+
d
−
Ω
)
2
{\displaystyle \lambda _{1}=1+{\begin{smallmatrix}{\frac {\left(a+d-\Omega \right)}{2}}\end{smallmatrix}}}
λ
2
=
1
+
(
a
+
d
+
Ω
)
2
{\displaystyle \lambda _{2}=1+{\begin{smallmatrix}{\frac {\left(a+d+\Omega \right)}{2}}\end{smallmatrix}}}
Ω
=
(
a
−
d
)
2
+
4
b
c
{\displaystyle \Omega ={\begin{smallmatrix}{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}\end{smallmatrix}}}
[ 12]
伽瑪函數 階乘的定義可推廣到複數，其與伽瑪函數 的關係為：
z
!
=
Γ
(
z
+
1
)
=
∫
0
∞
t
z
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!}
伽瑪函數滿足
Γ
(
n
+
1
)
=
(
n
)
Γ
(
n
)
{\displaystyle \Gamma (n+1)=(n)\Gamma (n)}
另一種定義擴展是阿達馬伽瑪函數 ，但由於其不在所有實數上皆能滿足階乘的遞歸定義，只有在正整數上滿足階乘的遞歸定義
n
!
=
n
×
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n\times (n-1)!}
H
(
x
+
1
)
=
x
H
(
x
)
+
1
Γ
(
1
−
x
)
{\displaystyle H(x+1)=x\,H(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}}}
其後面的項
1
Γ
(
1
−
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1-x)}}}
遞進階乘：
(
x
)
n
=
x
n
¯
=
x
(
x
+
1
)
.
.
.
(
x
+
n
−
1
)
{\displaystyle (x)_{n}=x^{\overline {n}}=x(x+1)...(x+n-1)}
遞降階乘：
x
n
_
=
x
(
x
−
1
)
.
.
.
(
x
−
n
+
1
)
{\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)...(x-n+1)}
x
n
¯
=
(
−
1
)
n
(
−
x
)
n
_
{\displaystyle x^{\overline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}}
正整數的雙階乘表示小於等於該數的所有具相同奇偶性的正整數的乘積，即：
{
(
2
n
−
1
)
!
!
=
1
×
3
×
5
×
⋯
×
(
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
!
=
2
×
4
×
6
×
⋯
×
(
2
n
)
,
n
∈
N
{\displaystyle {\begin{cases}(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1)\\(2n)!!=2\times 4\times 6\times \cdots \times (2n)\end{cases}},n\in \mathbb {N} }
無視上述定義的
n
!
!
{\displaystyle n!!}
N
{\displaystyle N}
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
z
!
!
=
z
(
z
−
2
)
⋯
(
3
)
=
2
z
−
1
2
(
z
2
)
(
z
−
2
2
)
⋯
(
3
2
)
=
2
z
−
1
2
Γ
(
z
2
+
1
)
Γ
(
1
2
+
1
)
=
2
z
+
1
π
Γ
(
z
2
+
1
)
.
{\displaystyle z!!=z(z-2)\cdots (3)=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {3}{2}}\right)=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}+1\right)}}={\sqrt {\frac {2^{z+1}}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)\,.}
獲得的表達接受一個以上公式
(
2
n
+
1
)
!
!
{\displaystyle (2n+1)!!}
(
2
n
−
1
)
!
!
{\displaystyle (2n-1)!!}
γ
{\displaystyle \gamma }
乘法定理 ）等同於一個給定在這裏。
z
!
!
{\displaystyle z!!}
比較上式與
(
2
n
)
!
!
{\displaystyle (2n)!!}
(
2
n
)
!
!
{\displaystyle (2n)!!}
0
!
!
{\displaystyle 0!!}
(
2
n
)
!
!
=
2
n
×
(
2
n
−
2
)
×
(
2
n
−
4
)
×
⋯
×
4
×
2
×
0
!
!
{\displaystyle (2n)!!=2n\times (2n-2)\times (2n-4)\times \cdots \times 4\times 2\times 0!!}
其中
0
!
!
=
2
π
{\displaystyle 0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}
使用它的定義，半徑為
R
{\displaystyle R}
n維超球 其體積可表示為：
V
n
=
2
(
2
π
)
n
−
1
2
n
!
!
R
n
.
{\displaystyle V_{n}={\frac {2(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}.}
V
n
=
(
π
)
n
2
n
2
!
R
n
.
{\displaystyle V_{n}={\frac {(\pi )^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}!}}R^{n}.}
n
!
(
k
)
{\displaystyle n!^{(k)}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
n
!
(
k
)
=
{
1
,
if
0
≤
n
<
k
;
n
(
n
−
k
)
!
(
k
)
,
if
n
≥
k
.
{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
能將多重階乘 推廣到複數 （甚至是四元數 ）
z
!
(
k
)
=
z
(
z
−
k
)
⋯
(
k
+
1
)
=
k
z
−
1
k
(
z
k
)
(
z
−
k
k
)
⋯
(
k
+
1
k
)
=
k
z
−
1
k
Γ
(
z
k
+
1
)
Γ
(
1
k
+
1
)
.
{\displaystyle z!^{(k)}=z(z-k)\cdots (k+1)=k^{\frac {z-1}{k}}\left({\frac {z}{k}}\right)\left({\frac {z-k}{k}}\right)\cdots \left({\frac {k+1}{k}}\right)=k^{\frac {z-1}{k}}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{k}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)}}\,.}
所謂的四次階乘 （又稱四重階乘 ） 不是
n
!
4
{\displaystyle n!^{4}}
(
2
n
)
!
n
!
{\displaystyle {\frac {(2n)!}{n!}}}
四次階乘 為
1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, .... 它也等於
2
n
(
2
n
)
!
n
!
2
n
=
2
n
(
2
⋅
4
⋯
2
n
)
[
1
⋅
3
⋯
(
2
n
−
1
)
]
2
⋅
4
⋯
2
n
=
(
1
⋅
2
)
⋅
(
3
⋅
2
)
⋯
[
(
2
n
−
1
)
⋅
2
]
=
(
4
n
−
2
)
!
(
4
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2^{n}{\frac {(2n)!}{n!2^{n}}}&=2^{n}{\frac {(2\cdot 4\cdots 2n)[1\cdot 3\cdots (2n-1)]}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[8pt]&=(1\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)\cdots [(2n-1)\cdot 2]=(4n-2)!^{(4)}.\end{aligned}}}
hyperfactorial（有時譯作過階乘 ）寫作
H
(
n
)
{\displaystyle H(n)}
H
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
k
k
=
1
1
⋅
2
2
⋅
3
3
⋯
(
n
−
1
)
n
−
1
⋅
n
n
{\displaystyle H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}}
hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。
前幾項的hyper階乘為：
1 , 4 , 108 , 27648, 86400000, ... （OEIS 數列A002109 ）
1995年，尼爾·斯洛恩 和西蒙·普勞夫 定義了超階乘（superfactorial）為首
n
{\displaystyle n}
s
f
(
n
)
=
1
!
×
2
!
×
3
!
×
⋯
×
n
!
{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=1!\times 2!\times 3!\times \cdots \times n!}
s
f
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
k
!
=
∏
k
=
1
n
k
n
−
k
+
1
=
1
n
⋅
2
n
−
1
⋅
3
n
−
2
⋯
(
n
−
1
)
2
⋅
n
1
.
{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
前幾項的超階乘為：
1 , 2 , 12 , 288 , 34560, 24883200, ... （OEIS 數列A000178 ）
柯利弗德·皮寇弗 在他的書Key to Infinity 定義了另一個超階乘，寫作
n
S
!
{\displaystyle n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}}
S
!
{\displaystyle \mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}}
n
S
!
=
n
(
4
)
n
{\displaystyle n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=n^{(4)}n}
(4), 表示hyper4 ，使用高德納箭號表示法 即
n
S
!
=
(
n
!
)
↑↑
(
n
!
)
{\displaystyle n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=(n!)\uparrow \uparrow (n!)}
1
S
!
=
1
{\displaystyle 1\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=1}
2
S
!
=
2
2
=
4
{\displaystyle 2\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=2^{2}=4}
3
S
!
=
6
↑↑
6
=
6
6
6
6
6
6
{\displaystyle 3\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}
4
S
!
=
(
4
!
)
↑↑
(
4
!
)
=
24
↑↑
24
{\displaystyle 4\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=(4!)\uparrow \uparrow (4!)=24\uparrow \uparrow 24}
24
24
.
.
.
24
{\displaystyle {\begin{matrix}{24_{}^{24^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{24}}}}}}}\\\end{matrix}}}
質數階乘 是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數 的積，自然數
n
{\displaystyle n}
質數階乘 ，寫作
n
#
{\displaystyle n\#}
目前質數階乘 只能用遞歸 方式定義，因為尚未找到一個能用基本函數表示所有質數 的函數 或一條包含所有質數 的曲線
一般情況下質數階乘 定義為：
n
#
=
∏
i
=
1
π
(
n
)
p
i
=
p
π
(
n
)
#
{\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}
其中,
π
(
n
)
{\displaystyle \pi (n)}
質數計數函數 ，小於或等於某個實數
n
{\displaystyle n}
≤
n
{\displaystyle \leq n}
階冪 也稱疊冪 或者重冪 記作
n
!
{\displaystyle n^{!}}
n
{\displaystyle n}
n
!
=
n
(
n
−
1
)
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
.
.
.
3
2
1
{\displaystyle n^{!}=n^{{(n-1)}^{!}}=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}}
其中
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS 數列A049384 ）
第5個重冪數是一個有183231位阿拉伯數字 組成的超大自然數[ 13] [ 14]
6.20606987866
×
10
183230
{\displaystyle 6.20606987866\times 10^{183230}}
另外一種定義則是每個階冪都先取一次階乘：
n
!
(
n
−
1
)
!
!
=
n
!
(
n
−
1
)
!
(
n
−
2
)
!
.
.
.
3
!
2
!
1
!
{\displaystyle n!^{{(n-1)!}^{!}}=n!_{}^{(n-1)!^{{(n-2)!}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3!}^{{2!}^{1!}}}}}}}}}
前幾個階乘階冪為：
1, 2, 36 , 48708493958471199415506599153950129703565945470976, ... （OEIS 數列A073581 ）
第5個階乘階冪值已大於
10
10
50
{\displaystyle 10^{10^{50}}}
[ 15] [ 16]
4.3056
×
10
1.01274
×
10
50
≈
10
10
50.00549705084703
{\displaystyle 4.3056\times 10^{1.01274\times 10^{50}}\approx 10^{10^{50.00549705084703}}}
二次階冪：
n
!
!
=
n
!
2
=
n
!
(
n
−
1
)
!
(
n
−
2
)
!
.
.
.
3
!
2
!
1
!
{\displaystyle n^{!!}=n^{{!}^{2}}={n^{{!}{(n-1)^{{!}{{(n-2)}^{{!}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!}{2^{{!}{1^{!}}}}}}}}}}}}}}}}
前幾個二次階冪為：
1, 2, 81...
第4個階乘階冪值已大於
10
438
{\displaystyle 10^{438}}
7.975
×
10
438
{\displaystyle 7.975\times 10^{438}}
相應地，
m
{\displaystyle m}
n
!
m
=
n
!
(
m
−
1
)
(
n
−
1
)
!
m
=
n
!
(
m
−
1
)
(
n
−
1
)
!
(
m
−
1
)
(
n
−
2
)
!
(
m
−
1
)
.
.
.
3
!
(
m
−
1
)
2
!
(
m
−
1
)
1
!
(
m
−
1
)
{\displaystyle n^{{!}^{m}}=n^{{!}^{(m-1)}{(n-1)}^{!^{m}}}={n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{(n-2)}^{{!^{(m-1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!^{(m-1)}}{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}}}}}}
其中
n
{\displaystyle n}
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
n
,
m
∈
Z
{\displaystyle n,m\in Z}
倒數階乘是指所有小於及等於該數的正整數之倒數 的積，其值與階乘的倒數相同：
∏
k
=
1
n
1
k
=
1
n
!
∀
n
≥
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1}
其無窮級數收斂在e [ 17]
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
1
k
=
e
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e}
考量階乘可以表示為連續的伽瑪函數，則有
∫
−
1
∞
d
x
x
!
=
∫
0
∞
d
x
Γ
(
x
)
≈
2.80777024
,
{\displaystyle \int _{-1}^{\infty }{\frac {dx}{x!}}\,=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\Gamma (x)}}\,\approx 2.80777024,}
這個值又稱為弗朗桑－羅賓遜常數 [ 18]
反階乘的複變函數圖形 反階乘是階乘的反函數，用於求解指定的數是哪個數的階乘。例如120的反階乘為5，因為5的階乘為120。反階乘可以透過泰勒級數或反伽瑪函數 來評估與計算。
反階乘可以用了推算某個數大約是多少的階乘。
由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
≈
−
1
+
α
+
2
(
x
−
Γ
(
α
)
)
Ψ
(
1
,
α
)
Γ
(
α
)
.
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
因此，反階乘也可以寫成如下的漸近分析 形式：[ 19]
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
x
)
∼
ln
(
x
2
π
)
W
0
(
e
−
1
ln
(
x
2
π
)
)
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}
其中
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
朗伯W函數 。這個公式是利用史特靈公式 求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。
瑞士數學家歐拉 （Euler, L.）於1751年用大寫字母
M
{\displaystyle M}
m
{\displaystyle m}
M
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
⋯
⋅
m
{\displaystyle M=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot m}
意大利數學家魯菲尼（Ruffini, P.）在1799年出版的方程著述中，用小寫字母
π
{\displaystyle \pi }
m
{\displaystyle m}
德國數學家高斯 （Gauss, C.F）於1818年則用
Π
(
n
)
{\displaystyle \Pi (n)}
n 階乘。
用符號
∣
n
_
{\displaystyle {\underline {\mid n}}}
n
{\displaystyle n}
現在通用的階乘符號
n
!
{\displaystyle n!}
格奧爾格·歐姆 （Ohm, M.）等人的倡議而流行起來，直用到現在。
^ 例如：
1
!
=
0
!
=
1
{\displaystyle 1!=0!=1\,}
(
−
0.5
)
!
=
π
{\displaystyle (-0.5)!={\sqrt {\pi }}}
0.5
!
=
0.5
π
.
{\displaystyle 0.5!=0.5{\sqrt {\pi }}.}
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5
262144
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120
24
6
2
1
{\displaystyle 120^{24^{6^{2^{1}}}}}
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![{\displaystyle \prod _{p\leq n}p^{\sum _{r=1}^{n}[{\frac {n}{p^{r}}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78999c4f17cea2e882ba2a4ec166a878f9ebc9d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{n}{\frac {(2n)!}{n!2^{n}}}&=2^{n}{\frac {(2\cdot 4\cdots 2n)[1\cdot 3\cdots (2n-1)]}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[8pt]&=(1\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)\cdots [(2n-1)\cdot 2]=(4n-2)!^{(4)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8918d39892ffb4c29b1c32467732f3f5f555aee2)
