雅可比符號

在數論中,雅可比符號勒讓德符號的一種推廣,首先由普魯士數學家卡爾·雅可比在1837年引進[1]。雅可比符號在數論中的各個分支中都有應用,尤其是在計算數論的素性檢驗大數分解以及密碼學中有重要作用。

定義

勒讓德符號 是對於所有的正整數   和所有的素數   定義的。

  如果p整除a;
如果存在整數   使得   且p不整除a
如果不存在整數   使得  
.
.
.

  時,稱  是模 的二次剩餘;當  時,稱  是模 的二次非剩餘。

運用勒讓德符號計算時要將   分解成標準形式,計算上十分麻煩,因此產生了雅可比符號

  是一個正奇數,其質因數分解式為  ,並且正整數   滿足   那麼定義 

參見

註釋

  1. ^ C.G.J.Jacobi "Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie", Bericht Ak. Wiss. Berlin (1837) pp 127-136

參考來源

  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X 
  • Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 
  • Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549 

外部連結