68–95–99.7法則
統計學法則
在統計上,68–95–99.7法則(68–95–99.7 rule)是在正態分佈中,距平均值小於一個標準差、二個標準差、三個標準差以內的百分比,更精確的數字是68.27%、95.45%及99.73%。若用數學用語表示,其算式如下,其中X為正態分佈隨機變量的觀測值,μ為分佈的平均值,而σ為標準差:
在實驗科學中有對應正態分佈的三西格馬法則(three-sigma rule of thumb),是一個簡單的推論,內容是「幾乎所有」的值都在平均值正負三個標準差的範圍內,也就是在實驗上可以將99.7%的概率視為「幾乎一定」[1]。不過上述推論是否有效,會視探討領域中「顯著」的定義而定,在不同領域,「顯著」(significant)的定義也隨着不同,例如在社會科學中,若置信區間是在正負二個標準差(95%)的範圍,即可視為顯著。但是在粒子物理中,若是發現新的粒子,置信區間要到正負五個標準差(99.99994%)的程度。
在不是正態分佈的情形下,也有另一個對應的三西格馬法則(three-sigma rule),即使是在非正態分佈的情形下,至少會有88.8%的概率會在正負三個標準差的範圍內,這是依照柴比雪夫不等式的結果。若是單模分佈(unimodal distributions)下,正負三個標準差內的概率至少有95%,若一些符合特定條件的分佈,概率至少會到98%[2]。
數值表
由於正態分佈含有指數項的特性,超出某個標準差範圍的概率會隨着該範圍的擴大而大幅減小。假如某實驗每天進行一次,則實驗結果超出某標準差範圍的頻率可列為下表:
範圍 | 範圍內樣本的預期比例 | 範圍外樣本的預期比例(近似) | 若每天實驗一次,範圍外樣本的發生頻率 |
---|---|---|---|
μ ± 0.5σ | 0.382924922548026 | 3/5 | 每週4-5次 |
μ ± σ | 0.682689492137086[3] | 1/3 | 每週2次 |
μ ± 1.5σ | 0.866385597462284 | 2/15 | 每1週 |
μ ± 2σ | 0.954499736103642[4] | 1/22 | 每3週 |
μ ± 2.5σ | 0.987580669348448 | 1/81 | 每3個月 |
μ ± 3σ | 0.997300203936740[5] | 1/370 | 每1年 |
μ ± 3.5σ | 0.999534741841929 | 1/2149 | 每6年 |
μ ± 4σ | 0.999936657516334 | 1/15787 | 每43年(約一生兩次) |
μ ± 4.5σ | 0.999993204653751 | 1/147160 | 每403年(近代以來僅1次) |
μ ± 5σ | 0.999999426696856 | 1/1744278 | 每年( 4776人類記錄歷史以來僅1次) |
μ ± 5.5σ | 0.999999962020875 | 1/26330254 | 每090年( 72智人出現以來僅4次) |
μ ± 6σ | 0.999999998026825 | 1/506797346 | 每138萬年(直立人出現以來僅1-2次) |
μ ± 6.5σ | 0.999999999919680 | 1/12450197393 | 每3400萬年(恐龍滅絕以來僅2次) |
μ ± 7σ | 0.999999999997440 | 1/390682215445 | 每10.7億年(地球誕生以來僅4次) |
μ ± xσ | 每 天 |
參考文獻
- ^ 「三西格馬法則」的用法大約是在公元2000年代時出現,有刊載在Schaum's Outline of Business Statistics. McGraw Hill Professional. 2003: 359及Grafarend, Erik W. Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Mixed Models. Walter de Gruyter. 2006: 553.上
- ^ See:
- Wheeler, D. J.; Chambers, D. S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press. 1992.
- Czitrom, Veronica; Spagon, Patrick D. Statistical Case Studies for Industrial Process Improvement. SIAM. 1997: 342.
- Pukelsheim, F. The Three Sigma Rule. American Statistician. 1994, 48: 88–91.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A178647. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A110894. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A270712. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.