杰恩斯-卡明斯模型

杰恩斯-卡明斯模型(Jaynes–Cummings model (JCM))是一个量子光学的理论模型。 这是一个描述双态系统和量化光腔(optical cavity)交互作用的模型,这种交互作用和光子的存在与否无关(在电磁辐射能造成光子自发性的放射吸收)。它主要被运用在原子物理学、量子光学、固态量子信息电路的理论与实验上。

杰恩斯-卡明斯模型。圆圈内展示了光子发射吸收

公式

系统哈密顿量

 

由自由场哈密顿量,原子激发态哈密顿量,JCM哈密顿量组成:

 

为方便起见,设真空场能量为  .

其中:

  •  场运算符,目的是把量化辐射场转化为玻色子的模型,另外双态原子是能被三维布洛赫球面所描述的半自旋粒子
    •  是玻色子的创生算符
    •   是玻色子的湮灭算符
  •  是原子耦合区的偏振运算符
  •    是原子的阶梯算符
  •   是原子反转运算
  •  是原子的跃迁频率
  •   是模型的角频率

JCM哈密顿量

通过把薛定谔绘景转换为相互作用绘景(又名旋转框架(rotating frame)) ,使得 ,可以得到:

 

这个哈密顿量同时包含了两个部分:

  •   是快速震荡,
  •   是慢速震荡。

为了求解这个方程,简化模型是再所难免的。注意到,当   的时候,快速振荡的 “反向旋转”项(也就是快速震荡项)可被忽略,这被称为旋波近似。再将之转换回薛定谔绘景,JCM哈密顿量就变成了:

 

其中,

  •  是原子场的耦合常数,
  •  是原子跃迁时刻,
  •  是腔模的体积。

本征态

一般情况下,将哈密顿量拆分为2部分有助于对其进行求解:

 

其中,

 

  称之为场与双态系统的失谐量(频率)。

为了更好地求解哈密顿量,把 本征态转换成张量积   ,表示模型中辐射量子的数量。)

对位任意正整数n,状态  与状态  会退化为   足以在子空间 对角化。  的元素属于 的子空间,表示为:

 

对于任意正整数n,能量本征态 为:

 

其中, 拉比频率特殊的失谐参数。

含能量本征态  特征值是:

 
 

其中, 

薛定谔绘景动量

为了得到动量的一般情况。 首先考虑一个场叠加态的初态  ,若置一激发态原子于场内,则系统初态为:

 

其中   是该系统的定态, 含时状态向量是:

 

相互作用绘景动量

可以直接通过海森堡记法(Heisenberg notation)来确定幺正演化算符(unitary evolution operator) :[1]

 

其中,定义算符 

 

 的幺正(unitary )被恒等定义:

 
 

幺正算符可以计算被密度矩阵 所描述的含时系统状态的演变,幺正算符包含了所有可观测量。给定初态 ,则有:

 
 
其中,  是表示可观测量的算符。

量子震荡的崩塌和复兴

 

原子反转的量子震荡图像(二次反比失谐参数  , 其中 是失谐参数),基于 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式[2]

参考资料

  1. ^ S. Stenholm, "Quantum theory of electromagnetic fields interacting with atoms and molecules", Physics Reports, 6(1), 1-121 (1973).
  2. ^ A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba. A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model. J. Phys. A: Math. Theor. 2009, (42): 195304, 16. Bibcode:2009JPhA...42s5304K. doi:10.1088/1751-8113/42/19/195304. 

参考文献

延伸阅读

  • C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). Introductory Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), Quantum Optics, Springer-Verlag.