卡诺定理 (热力学)

卡诺定理是热力学中的一个定理，说明热机的最大热效率只和其高温热源和低温热源的温度有关。此定理以尼古拉·卡诺为名。

根据卡诺定理，则

• 所有不可逆的热机，其热效率会比使用相同高温和低温热源的卡诺热机要低。
• 所有可逆的热机，其热效率会等于相同高温和低温热源的卡诺热机。

依卡诺定理可得到一热机的最大热效率$\eta$（也称作卡诺效率）为

$\eta _{\text{max}}=\eta _{\text{Carnot}}=1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}$

其中

• T_C为低温热源的绝对温度
• T_H为高温热源的绝对温度

上式的热效率是指热机产生的功和高温热源提供能量的比值。

上述定律其实是热力学第二定律的结果。不过当初在推导此定律时是以热质说为基础，且以此定律为基础建立热力学第二定律。

证明

证明卡诺定理

此定理可用以下的方式，针对不可逆热机及可逆热机的情形进行证明

不可逆热机

假设一不可逆热机，其热源为$T_{1}$及$T_{2}$，其热效率为$\eta$，此热机和一个效率为$\eta \prime$的逆卡诺热机，依右图的方式组合成一个热力学循环，不可逆热机产生的功为逆卡诺热机的工作来源。

若$\eta =\eta \prime$，则此热力学循环对系统没有任何影响，与不可逆性矛盾，因此不成立。

若$\eta >\eta \prime$，则此热力学循环可由低温热源$T_{2}$取出

$\Delta Q=\eta Q\left({\frac {1}{\eta \prime }}-1\right)-(1-\eta )Q=Q\left({\frac {\eta }{\eta \prime }}-1\right)>0$

的能量，将此能量释放到高温热源$T_{1}$，且不引起其他变化，违反热力学第二定律，也无法成立。

因此结论为$\eta <\eta \prime$，不可逆热机的效率$\eta$较卡诺热机的效率$\eta \prime$低。

可逆热机

对于可逆热机的例子，可依类似的方式得到$\eta \leqslant \eta \prime$的结果。

若用待测的可逆热机当成逆热机，和一般的卡诺热机形成一个热力学循环，也可得到$\eta \prime \leqslant \eta$的结果。

由于上述二式需同时成立，可得以下的式子

$\eta =\eta \prime$

应用在燃料电池上

有关卡诺定理是否能应用在燃料电池，至今科学家还没有达成共识。凯斯西储大学的教授认为“由于燃料电池中的电化学反应不涉及将热能转换为机械能，因此不受卡诺定理的限制”。不过K. T. Jacob及Saurabh Jain则认为“传统的观点认为燃料电池不受卡诺定理的限制，不过最近几篇论文都认为热力学第二定律不但限制热机的效率，也以同样方式限制燃料电池的效率”。