卡诺图

在逻辑代数中，卡诺图（Karnaugh map）是真值表的变形，它可以将有n个变量的逻辑函数的$2^{n}$个最小项组织在给定的长方形表格中，同时为相邻最小项（相邻与项）运用邻接律化简提供了直观的图形工具。但是，如果需要处理的逻辑函数的自变量较多（有五个或更多的时候，此时有些项就很难圈了），那么卡诺图的行列数将迅速增加，使图形更加复杂。

卡诺图是贝尔实验室的电信工程师莫里斯·卡诺（Maurice Karnaugh）在1953年发明的。

变量卡诺图

• 表示各最小项的$2^{n}$（n-变量数）个小格，排列呈矩形。
• 小格按“格雷码” 排列，保证最小项间“几何相邻”与“逻辑相邻性”的统一。（几何相邻有“内相邻” “外相邻”和“中心对称”）

函数卡诺图

• 最小项（$\sum _{}m$）：把函数包含的所有最小项，以“1”填入变量卡诺图对应编号的小格内。
• 最大项（$\prod _{}M$）：把函数包含的所有最大项，以“0”填入变量卡诺图对应编号的小格内。

用卡诺图化简逻辑函数的步骤

• 如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图
• 如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。
• 合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈
  • 尽量画大圈，但每个圈内只能含有$2^{n}$（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
  • 圈的个数尽量少。
  • 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
  • 在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
• 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。

示例

示例--2变量卡诺图

• 
  Σm(0); K = 0
• 
  Σm(1); K = A′B′
• 
  Σm(2); K = AB′
• 
  Σm(3); K = A′B
• 
  Σm(4); K = AB
• 
  Σm(1,2); K = B′
• 
  Σm(1,3); K = A′
• 
  Σm(1,4); K = A′B′ + AB
• 
  Σm(2,3); K = AB′ + A′B
• 
  Σm(2,4); K = A
• 
  Σm(3,4); K = B
• 
  Σm(1,2,3); K = A' + B′
• 
  Σm(1,2,4); K = A + B′
• 
  Σm(1,3,4); K = A′ + B
• 
  Σm(2,3,4); K = A + B
• 
  Σm(1,2,3,4); K = 1

示例--4变量卡诺图

一个4变量卡诺图的例子：

某函数的真值表

	A	B	C	D	$f(A,B,C,D)$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	0
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	0
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	1
12	1	1	0	0	1
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	0

我们可以用两个不同的写法，及四个不同的布尔变量A, B, C, D和他们的相反值，来表示同一个尚未化简的布尔代数：

• $f(A,B,C,D)=\sum _{}m_{i},i\in \{6,8,9,10,11,12,13,14\}$这个${}m_{i}$是卡诺图的最小项（即圈出来的值$i$在真值表上显示为1）。
• $f(A,B,C,D)=\prod _{}M_{i},i\in \{0,1,2,3,4,5,7,15\}$ 这个 $M_{i}$ 是卡诺图的最大项（即圈出来的值$i$在真值表上显示为0）。

某函数的卡诺图（圈法1）

A B C D	0 0	0 1	1 1	1 0
0　0	0	0	1	1
0　1	0	0	1	1
1　1	0	0	0	1
1　0	0	1	1	1

某函数的卡诺图（圈法2）

A B C D	0 0	0 1	1 1	1 0
0　0	0	0	1	1
0　1	0	0	1	1
1　1	0	0	0	1
1　0	0	1	1	1

按照上述卡诺图圈法（不限于上述两种），可知化简结果为AC'+AB'C+BCD'或ABC'+AB'+BCD'

参考文献

来源

期刊文章

• Karnaugh, Maurice. The Map Method for Synthesis of Combinational Logic Circuits. Transactions of American Institute of Electrical Engineers part I. November 1953, 72 (9): 593–599.