卡迪森-辛格问题

泛函分析的問題,提出五十多年後由電腦科學家解決

数学上,卡迪森-辛格问题(英语:Kadison–Singer problem)于1959年提出,有关泛函分析[1],问某个特定C*-代数上的任意线性泛函,延拓到另一个较大的C*-代数时,是仅有唯一的可能,抑或可以有多个不同的延拓。2013年,问题得到解决,答案为肯定(即唯一)。

问题源出1940年代保罗·狄拉克量子力学理论基础的研究。1959年,理查德·卡迪森英语Richard Kadison艾沙道尔·辛格[2]给出严格的问题叙述。此后,发现纯数学、应用数学、工程学、电脑科学等学科的多个未解问题,皆与卡迪森-辛格问题等价。[3][4]卡迪森、辛格,以及日后多个作者,都相信问题答案为否定(即不唯一)[3][4],然而于2013年,亚当·马库斯英语Adam Marcus (mathematician)丹尼尔·斯皮尔曼英语Daniel Spielman尼基·斯里瓦斯塔瓦英语Nikhil Srivastava合著论文[5]给出肯定的答案。翌年,三人因此获SIAM英语Society for Industrial and Applied Mathematics颁发波利亚奖英语George Pólya Prize[6]

马-斯-斯三氏皆为电脑科学家,本来并非研究C*-代数。[1]:83马库斯甚至称自己在解决该问题后,“仍无法用C*-代数的语言来描述它”[1]:86。解决问题的转捩点,是乔尔·安德森(Joel Anderson)将其重写成不牵涉C*-代数理论的等价形式。[1]:84安德森于1979年证明,其“铺砌猜想”(英语:paving conjecture)与卡迪森-辛格问题等价。该猜想仅牵涉有限维希尔伯特空间的算子,而相比之下,原问题的空间则是无穷维。此后,亦有其他学者,如尼克·威佛(Nik Weaver),在有限维空间中,给出其他等价问法。威佛的版本吸引了马-斯-斯三氏研究。[1]:85而此版本用交织多项式族(英语:interlacing family)获解决。[7]

原问题叙述

先引入若干定义:

 
平方可和的复序列空间英语Sequence space,即 。此空间为可分希尔伯特空间,内积定义由 给出。
 
  连续线性算子组成的集合。此集合上,有加减法、乘法、伴随等运算,构成一个C*-代数
 
  的对角连续线性算子集合。换言之,  包含于 ,故为其子C*-代数。
C*-代数 上的英语state (functional analysis),是连续线性泛函 ,将单位元 映到 ,且对任意半正定 ,有 (即此时 要取实值,且该实值为非负)。
纯态
接续上项, 称为纯态,意思是在 上所有态组成的集合中, 极端点英语Extreme point,即不能写成其他态的凸组合

哈恩-巴拿赫定理 上的任意泛函,必能延拓到 上。卡迪森与辛格二人问,对于纯态,此延拓是否唯一。所以,卡迪森-辛格问题是要证明或否证以下命题:

 上的任意纯态  上都存在唯一的态 ,使 延拓 ,即两者限制 时等同。

此命题已证为真。[5]

铺砌猜想叙述

卡迪森-辛格问题的答案为肯定,当且仅当以下铺砌猜想为真:[8]

对任意的 ,存在正整数 使得:对每个 ,以及对 维希尔伯特空间 上的每个线性算子 (可视为 方阵),若其对角线全零,则存在某种方法将 分划  ,使得

  对于每个   都成立。

此处 正交投影,将 (坐标以 为下标)映到坐标仅以 元素为下标的子空间。换言之, 是下标为 元素的各行列,相交而得的子方阵。而矩阵范数 取为谱范数,即来自 欧氏范数算子范数

注意命题中, 只能与 有关,但不取决于 

偏差叙述

尼克·威佛(Nik Weaver)证明,以下“偏差理论英语discrepancy theory”命题,同样与卡迪森-辛格问题(的肯定答案)等价:[9]

设有向量 ,满足  单位方阵),且对每个  。则存在一种方法将 分划成两个子集  ,使得对于 都有

 

马库斯、斯皮尔曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交织多项式族(英语:interlacing families)的技巧,证明上述命题为真。该命题又有以下推论:

设向量 满足 (对所有 ),还有

  对满足 的所有向量 成立。

则可以将 分划成两个子集  ,使得对 ,以及满足 的任意向量 ,皆有:

 

“偏差”一词的含义,在 较小时显明:在单位球面上取值恒为 二次型,可以分拆成两个大致相等的二次型,而分拆出来的二次型在单位球面上各处的取值,离 的偏差很小。利用命题此种形式,可以推导出关于分划的若干结果。[7]

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Erica Klarreich英语Erica Klarreich; 赵京(译). 外行人破解困扰数学界50年的难题. 数学文化 (香港: 全球科学出版社). 2017, 8 (3): 82–86 [2021-10-16]. ISSN 2070-545X. (原始内容存档于2021-10-19). 
  2. ^ Kadison, R.; Singer, I. Extensions of pure states [纯态的延拓]. American Journal of Mathematics英语American Journal of Mathematics. 1959, 81 (2): 383–400. JSTOR 2372748. MR 0123922. doi:10.2307/2372748 (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 Casazza, P. G.; Fickus, M.; Tremain, J. C.; Weber, E. The Kadison–Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account [数学与工程学的卡迪森-辛格问题:详解]. Han, Deguang; Jorgensen, Palle E. T.; Larson, David Royal (编). Operator theory, operator algebras, and applications [算子理论、算子代数、应用]. Contemporary Mathematics 414. Providence, RI: American Mathematical Society. 2006: 299–355. ISBN 9780821839232. MR 2277219. arXiv:math/0510024 . doi:10.1090/conm/414/07820 (英语). 
  4. ^ 4.0 4.1 Casazza, Peter G. Consequences of the Marcus/Spielman/Srivastava solution to the Kadison–Singer Problem [卡迪森-辛格问题的马库斯/斯皮尔曼/斯里瓦斯塔瓦解答的推论]. 2015. arXiv:1407.4768  [math.FA] (英语). 
  5. ^ 5.0 5.1 Marcus, Adam; Spielman, Daniel A.; Srivastava, Nikhil. Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem [相交族之二:混合特征多项式与卡迪森-辛格问题]. 2013. arXiv:1306.3969  [math.CO] (英语). 
  6. ^ Rob Knies. Conjecture Proof Leads to Pólya Prize [因证明猜想获波利亚奖] (网志). Microsoft Research Blog. 2014-07-09 [2021-10-16]. (原始内容存档于2021-10-20) (英语). 
  7. ^ 7.0 7.1 Srivastava, Nikhil. Discrepancy, Graphs, and the Kadison–Singer Problem [偏差、图、卡迪森-辛格问题] (网志). Windows on Theory. July 11, 2013 [2021-10-16]. (原始内容存档于2021-04-13) (英语). 
  8. ^ Anderson, Joel. Restrictions and representations of states on C∗-algebras [C*-代数上,态的限制与表示]. Transactions of the American Mathematical Society. 1979, 249 (2): 303–329 [2021-10-16]. JSTOR 1998793. MR 0525675. doi:10.2307/1998793. (原始内容存档于2021-10-16) (英语). 
  9. ^ Weaver, Nik. The Kadison-Singer problem in discrepancy theory [偏差理论中的卡迪森-辛格问题]. Discrete Mathematics. 2004, 278 (1–3): 227–239. arXiv:math/0209078 . doi:10.1016/S0012-365X(03)00253-X (英语). 

外部链接