环论中,商环(或称剩余类环)是环对一个理想的商结构。

定义

 为一 为一双边理想。定义下述等价关系

 

 为其等价类的集合,其中的元素记作 ,其中 是该元素在 上任一代表元。我们可以在 上定义环结构:

 
 

以上运算是明确定义的(在第二式中须用到 是双边理想)。集合 配合上述运算称作  商环。根据定义,商映射 是满的环同态, 为此同态的核。

如果 含单位元 ,则  的单位元。

:若条件弱化为 是左(或右)理想,上述两式仍可赋予集合 左(或右) -结构。

例子

  • 最平凡的例子是 ,此时分别得到 
  •  ,商环 可视为模运算的代数框架,其中的元素即模 的剩余类。
  • 商环是构造代数扩张的主要工具。例如取实系数多项式环  ,则商环 与复数域 同构(考虑映射 )。一般而言,设 为一个  上的不可约多项式,则商环 的意义在于抽象地在 上加进 的一个根。

性质

商环由下述泛性质唯一决定(至多差一个同构):

 为商同态;对任何环同态 ,若  ,则存在唯一的同态 ,使得 

事实上,若更设 ,则 是单射。准此, 的同态像无非是 的商环。

理想的性质常与其商环相关,例如当 是交换含幺环时, 素理想(或极大理想)当且仅当 整环(或); 中包含 的理想一一对应于 中的所有理想,此对应由商映射的逆像给出。

文献