商环

在环论中，商环（或称剩余类环）是环对一个理想的商结构。

定义

设$R$为一环，$I\subset R$为一双边理想。定义下述等价关系

$x\sim y\iff x-y\in I$

令$R/I$为其等价类的集合，其中的元素记作$a+I$，其中$a$是该元素在$R$上任一代表元。我们可以在$R/I$上定义环结构：

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$

$(a+I)\cdot (b+I)=ab+I$

以上运算是明确定义的（在第二式中须用到$I$是双边理想）。集合$R/I$配合上述运算称作$R$对$I$的商环。根据定义，商映射$R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I$是满的环同态，$I$为此同态的核。

如果$R$含单位元$1$，则$1+I$是$R/I$的单位元。

注：若条件弱化为$I$是左（或右）理想，上述两式仍可赋予集合$R/I$左（或右）$R$-模结构。

例子

• 最平凡的例子是$I=(0),I=R$，此时分别得到$R/(0)=R,R/R=(0)$。
• 取$R=\mathbb {Z} ,I=n\mathbb {Z}$，商环$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$可视为模运算的代数框架，其中的元素即模$n$的剩余类。
• 商环是构造代数扩张的主要工具。例如取实系数多项式环$R=\mathbb {R} [X]$，$I=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]$，则商环$\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$与复数域$\mathbb {C}$同构（考虑映射$f(X)+(X^{2}+1)\mapsto f(i)$）。一般而言，设$F$为一个域，$p(X)\in F[X]$为$F$上的不可约多项式，则商环$F[X]/p(X)$的意义在于抽象地在$F$上加进$p(X)$的一个根。

性质

商环由下述泛性质唯一决定（至多差一个同构）：

设$\pi :R\rightarrow R/I$为商同态；对任何环同态$\phi :R\rightarrow S$，若 $\mathrm {Ker} (\phi )\supset I$，则存在唯一的同态$\psi :R/I\rightarrow S$，使得$\psi \circ \pi =\phi$。

事实上，若更设$\mathrm {Ker} (\phi )=(0)$，则$\psi :R/I\rightarrow S$是单射。准此，$R$的同态像无非是$R$的商环。

理想的性质常与其商环相关，例如当$R$是交换含幺环时，$I$是素理想（或极大理想）当且仅当$R/I$是整环（或域）；$R$中包含$I$的理想一一对应于$R/I$中的所有理想，此对应由商映射的逆像给出。

文献

• Serge Lang, Algebra（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X