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四面半无穷星形六面体

四面半无穷星形六面体（Tetrahemihexacron）有时称为三维瑞士十字（3D Swiss cross）[1]，是一种无穷星形多面体，其有部分顶点落在无穷实射影平面上，因此，四面半无穷星形六面体的经典具象化为三个无限延伸的四角柱连接其7个顶点中的3个位于无穷实射影平面上的顶点。四面半无穷星形六面体的对偶多面体为四面半六面体，[2]为数学家温尼尔的著作《多面体模型》中之形状W67[3]的对偶多面体[2]。

四面半无穷星形六面体
四面半无穷星形六面体
每个四角柱延伸到无穷远点上
类别均匀多面体对偶
无穷星形多面体
对偶多面体四面半六面体
识别
名称四面半无穷星形六面体
参考索引DU04
性质
面6
边12
顶点7
欧拉特征数F=6, E=12, V=7 （χ=1）
对称性
对称群Td, [3,3], *332
图像

四面半六面体
（对偶多面体）

结构

四面半无穷星形六面体是四面半六面体的对偶多面体。[2]由于四面半六面体有部分面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点[4][5]。

在这样的结构下，四面半无穷星形六面体中心处有4个顶点，位于立方体内嵌正四面体的4个顶点，并由这4个顶店连接3个位于无穷实射影平面上的无穷远点。

具象化

 
温尼尔的四面半无穷星形六面体具象化

一般来说，这样的立体无法被具象化[6]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体[5]。四面半无穷星形六面体被具象化为3个双向延伸的正四角柱，底面为正方形，每个方向的柱体延伸到相同的无穷远点，以保持整体的对称性[7]。在实际上被具象化的模型通常只会展现这个无穷高立体的局部[8]，也就是会截去远离几何中心一定距离外的立体。温尼尔建议让这些几何形状分类到一类新的星形多面体，称为无穷星形多面体。然而，由于其包括了无穷远点，因此其无法满足多面体通常的定义，仅能被视为广义的多面体。[9]另一方面，由于其立体中心部分可以视为一个立方体，因此广义上来说，这个立体也可以视为是星形立方体的一种。[9]温尼尔提出的具象化模型虽然在理论上有些缺陷，但已足以作为一种具像化的方式。[10]

2017年，保罗·盖柳纳斯（Paul Gailiunas）提出了一种将无穷星形多面体具象化为有限大小几何结构的具象化方式，其使用曲线的方式来表达无穷星形多面体的拓朴结构。[9]

性质

根据对偶多面体的定义，对偶多面体为顶点与面交换，因此对偶多面体的面数会等于原始多面体的顶点数、对偶多面体的顶点数会等于原始多面体的面数，而边数不变。[11]因此四面半无穷星形六面体应有6个面、12条边和7个顶点。[6]在2017年保罗·盖柳纳斯所指出的一种具象化方式，其将四面半无穷星形六面体表达为由6个相对无限延伸之直角所构成的，这些无限延伸的直角以共面分离的两两一组形成一个分离多边形的面（入下图右图的黄色面），并且这个面以的两两分离的四条边皆连接到位于无穷实射影平面上的无穷远点。[9]

  •  
    保罗·盖柳纳斯所指出的一种四面半无穷星形六面具象化方式
  •  
    该具象化方式的四边形面

在拓朴上，对偶多面体的面数通常会与原始立体的顶点数相同，因此四面半六面体的对偶多面体应包含了7个顶点，其中3个顶点位于无穷实射影平面上，在方向上对应于八面体半形（一种抽象多面体）的三个顶点；其余四个顶点位于中央立方体，并交错地以立方体半形（在此处具象化为正四面体）的方式分布。 [12]由于这个立体有顶点位于无穷实射影平面上，因此无法定义其表面积与体积[13]。

用途

四面半无穷星形六面体的局部结构曾出现在一些建筑结构的设计中。[14]

参见

参考文献

  1. ^ The ALCOOL Analyzer. lix.polytechnique.fr. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-30）. The tetrahemihexacron (a.k.a. "3D Swiss cross"). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Weisstein, Eric W. Tetrahemihexacron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始内容存档于2022-11-30） （英语）. 
  3. ^ Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  4. ^ Hart, George. Quasiregular Polyhedra. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. 1996 [6 May 2012]. （原始内容存档于2021-07-24）. 
  5. ^ 5.0 5.1 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
  6. ^ 6.0 6.1 Vladimir Bulatov. Tetrahemihexacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-23）. 
  7. ^ Inchbald, Guy. Tidy dodecahedra and icosahedra. Jms. 29 July 2004, 30: 30 [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-06-08）. 
  8. ^ UD4, tetrahemihexacron. antiprism.com. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-30）. 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 Gailiunas, Paul, Finite Representations of Infinite Dual Polyhedra (PDF), people.tamu.edu, [2021-08-19], （原始内容存档 (PDF)于2021-08-19） 
  10. ^ Inchbald, Guy. Stellation and facetting - a brief history. steelpillow.com. 2010-12-19 [2016-03-26]. （原始内容存档于2016-03-04）. 
  11. ^ Weisstein, Eric W. Dual Polyhedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始内容存档于2020-10-30） （英语）. 
  12. ^ Kaleido Data: Uniform Polyhedron #9. harel.org.il. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-30）. 
  13. ^ Zvi Har'El. tetrahemihexacron. gratrix.net. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-04-01）. 
  14. ^ Hexad. actual.ac. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-30）. 

外部链接

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