对偶小波

在数学上，一个对偶小波（英语：dual wavelet）为小波的对偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可积函数(square integral function)产生的小波级数(wavelet series)具有对偶级数。然而， 对偶级数一般并不是由平方可积函数本身表示。

定义

给一个平方可积函数 $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$, 定义级数 $\{\psi _{jk}\}$ 由

$\psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)$

给整数 $j,k\in \mathbb {Z}$.

这种函数称为R函数(R-function)，假如$\{\psi _{jk}\}$的线性展延在$L^{2}(\mathbb {R} )$上,且假如存在一个正的常数A, B，其中$0<A\leq B<\infty$ 如下式

$A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,$

对于所有双无限平方累加(bi-infinite square summable)级数 $\{c_{jk}\}$. 在这里, $\Vert \cdot \Vert _{l^{2}}$ 代表平方和范数:

$\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}$

而 $\Vert \cdot \Vert _{L^{2}}$ 代表在 $L^{2}(\mathbb {R} )$的通常范数(usual norm):

$\Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx$

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一个独特的对偶基底(dual basis) $\psi ^{jk}$ 如下式

$\langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}$

$\delta _{jk}$为克罗内克函数(Kronecker delta)，而 $\langle f\vert g\rangle$为在$L^{2}(\mathbb {R} )$的内积(inner produce)。确实，这里存在一个对于平方可积函数 f 表示基底的特殊级数表示:

$f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)$

假如这里存在一个函数 ${\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )$ 如下式

${\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}$

${\tilde {\psi }}$ 称为对偶小波(dual wavelet)或是小波对偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般来说，对于一些R函数(R-function)ψ,对偶不一定存在。在特别情况 $\psi ={\tilde {\psi }}$中,这个小波称为正交小波(orthogonal wavelet)。

要举一个没有对偶的R函数(R-function)很简单。让$\phi$ 为一个正交小波。然后定义 $\psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)$，z 为复数.如此一来可以很简单的表明 ψ 没有对偶小波。

其他相关

• Multiresolution analysis

文献

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8