希尔伯特第十九问题

希尔伯特第十九问题，是希尔伯特的23个问题之一，有关于变分法的问题，尤其是有关于位势方程正则性的问题

位势方程：${\frac {\partial ^{2}U}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial Y^{2}}}=0$

希尔伯特注意到了这个偏微分方程具有某种正则性(regularity)，除此之外，还有一些偏微分方程也有这类的特性，他称这些具有此特性的方程式为拉格朗日方程，他认为这些方程式的解是可解析的。这个问题在1904年由谢尔盖·伯恩施坦在巴黎大学上交的博士论文中得以解决，他证明了椭圆偏微分方程（位势方程等拉格朗日方程为椭圆偏微分方程），只要符合某些条件，则它的解必是可解析的，并且在证明出现后，希尔伯特第十九问题、第二十问题及第二十三问题被整合，并且有了相当程度的推广。

参见

• 希尔伯特第二十问题
• 希尔伯特第二十三问题
• 希尔伯特的23个问题