弗勒内-塞雷公式

向量微积分中,弗勒内-塞雷公式Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说,弗勒内公式描述了曲线的切向,法向,副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内(于1847年的博士论文中)和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷(于1851年)分别提出。

空间曲线的切向量 T,法向量 N 和副法向量 B;以及切向量和法向量张成的密切平面

单位切向量 T,单位法向量 N,单位副法向量 B,被称作 弗勒内标架,他们的具体定义如下:

  • T 是单位切向量,方向指向粒子运动的方向。
  • N 是切向量 T弧长参数的微分单位化得到的向量。
  • BTN外积

弗勒内公式如下:

其中d/ds 是对弧长的微分, κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

弗勒内公式

 
平面曲线上的亮点的切向量和法向量,以及标架在运动过程中的旋转。

r(t) 为欧式空间R3中的曲线,表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线,即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

s(t)t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长

 

由于假设r′ ≠ 0,因此可以将 t 表示为 s 的函数,因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s),弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下:

  • 单位切向量 T
 
  • 主法向量 N
 
  • 副法向量 B 定义为 TN外积
 
 
螺旋线上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量,红色的箭头表示法向量,黑色的箭头表示副法向量。

由于   所以 NT 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 TN,因此向量 TNB 互相垂直。

弗勒内公式如下:

 

其中 κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率

弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理,并且可以写做矩阵的形式:[1]

 

其中的矩阵是反对称矩阵

对弧长s求导,可以看成是对切方向的协变导数。

参阅

注释

  1. ^ Kühnel 2002,§1.9

参考资料

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外部链接