扁平率

扁平率，桥梁建筑学名词，用于衡量圆弧拱桥的平坦度，其定义为^[1]；

P=扁平率=圆弧拱桥的弧高/圆弧拱桥的跨度之半

={\frac {CF}{AF}}={\frac {H}{0.5L}}

其中H=CF，L=AB

还有一个常用的定义是弧高跨度比 $={\frac {CF}{AB}}={\frac {H}{L}}={\frac {P}{2}}$ ;

弧高跨度比是扁平率之半。这两个定义是等效的，扁平率定义优于弧高跨度比，因为对于一个半圆形拱桥，扁平率正好规一化=1.0，而弧高跨度比=0.5。

扁平率不是扁率，和椭圆形毫无干系。

只要知道一个圆弧拱桥的扁平率，无须半径数据，就可以得出圆弧拱桥的圆心角和弦长与跨度之比。

α=∠CAF =ATAN(P)

圆心角 θ=∠AOB =2∠AOF =4∠ADF =4α=4* ATAN(P)

桥拱仰角 =∠EBF= θ/2 =2* ATAN(P)

弦长=R*θ=4R ATAN(P)

跨度=2R sin(2α)

弦长与跨度之比= $2*{\frac {ATAN(P)}{SIN(2*ATAN(P))}}$

扁平率	高跨比	圆弧圆圆心角	桥拱仰角	弧长/跨度
1.0	0.5	180°	90°	1.57
0.9	0.45	167°	83.5°	1.47
0.83	0.42	159°	79.5°	1.41
0.7	0.35	140°	70°	1.30
0.6	0.3	124°	62°	1.22
0.5	0.25	106°	53°	1.16
0.4142	0.207	90°	45°	1.11
0.38	0.19	83°	41.5°	1.09
0.3	0.15	66.8°	33.4°	1.06
0.23	0.12	52°	26°	1.03

扁平率=1 对应半圆形。

扁平率=√2-1=0.4142时，圆弧正好是圆周的1/4。

从扁平率0.4至0.23, 弦长与跨度之比变化不多，换言之，建材节约不多。

年代	地点	拱桥	跨度(米)	扁平率	高跨比	圆弧半径	圆弧角度	弧长/跨度
前62年	罗马	Pons Fabricius	24.8	0.83	0.42	12.6	159	1.41
2世纪	西班牙	Alconétar桥（英语：Alconétar Bridge）	6.72	0.5	0.25	4.2	105	1.16
300年	土耳其	利米拉桥	12.87		0.16
610年	河北省赵县	赵州桥	37.5	0.38	0.19	28	84	1.1
615年	河北井陉县	楼殿桥	18	0.33	0.17	15	73.7	1.07
1130年	河北赵县	永通桥	25.9	0.23	0.12	29.5	52.2	1.04
1187年	法国	圣贝内泽桥	33.7	0.83	0.42	17.1	159	1.41
1345年	佛罗伦萨	老桥	29.9	0.37	0.19	22.8	82	1.09

参考资料

《中华科学文明史》[英]李约瑟原著，[英]柯林·罗南改编，上海交通大学科学史系译，上海人民出版社出版，2003年第五卷第四章《桥梁》 ISBN 7-208-04582-8