欧几里得整环

具有歐幾里德函數的交換環使得歐幾里德分割成為可能


抽象代数中,欧几里得整环Euclidean domain)是一种能作辗转相除法整环。凡欧几里得整环必为主理想环

定义

一个欧几里得整环是一整环   及函数  ,使之满足下述性质:

  •   ,则存在   使得  ,而且  ,或者  
  •   整除  ,则  

函数   可设想成元素大小的量度,当   时可取  

例子

欧几理得整环的例子包括了:

  • 整数环   
  • 高斯整数 
  • 上的多项式环 )与幂级数环(  定义为使   的最大非负整数  )。
  • 离散赋值环  定义为使   的最大非负整数  ,其中   表该离散赋值环的唯一极大理想

利用辗转相除法(定义中的第一条性质),可以证明欧几里得环必为主理想环,此时理想由其中  -值最小的元素生成。由此得到一个推论:欧几里得整环必为唯一分解环

并非所有主理想环都是欧几里得整环,Motzkin 证明了  整数环在   时并非欧几里得整环,却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。

文献

  • Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
  • Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
  • Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76