火腿三明治定理

火腿三明治定理英语:Ham sandwich theorem),也被称为Stone-Tukey定理,它在测度论中有重要的意义。火腿三明治定理说明在n-维空间中有n个可测量的“物体”,可以用一个(n-1)-维的超平面把它们同时分成测度相等的两部分。

火腿三明治定理的图解。

命名

当 n=3 时,就像一个三明治一样——这里的三个“物体”则是两片面包和中间的火腿。用一个平面可以同时把三个“物体”截断。

二维版本的证明:“旋转刀片”

二维版本的证明比任意维度的证明较为简单,流程如下:

对任何角度 ,均存在一条与 X 轴成角度 的直线平分第一个物体。(需使用介值定理) 令 由 0 增加到  ,再使用介值定理,则存在一条直线同时平分第二个物体。

定理的离散版本

离散版本可以视为定理的特例,当中每一个"物体"都是用有限个点组成的集合,并使用计数测度。但需要考虑点刚好落左超平面上时的情况。

参考文献