理想 (环论)


理想(Ideal)是一个环论中的概念。 若某的子集为在原环加法的定义下的子,且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中,则称其为原环的理想。 通俗地说,一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想把整数的某些子集,例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或相减结果仍是偶数,偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数;这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环,这类似于在群论里,正规子群可以被用来构造商群

历史

恩斯特·库默尔提出了理想数的概念,以此作为那些不具有唯一因子分解的数环的“缺失”的因子。“理想”在这里的意思是它只存在于想象中,可以类比在几何中那些“理想”的几何对象,比如无穷远处的点。[1]随后在1876年,理查德·戴德金狄利克雷数论讲义书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。[1][2][3]之后这个概念被大卫·希尔伯特艾米·诺特从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。

定义

(R,+,·),已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想,若I满足:

  1. (I, +)构成(R, +)的子群。
  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,i·r ∈ I。

类似地,I称为R的左理想,若以下条件成立:

  1. (I, +)构成(R, +)的子群。
  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,r·i ∈ I。

若I既是R的右理想,也是R的左理想,则称I为R的双边理想,简称R上的理想

示例

  • 整数环的理想:整数环Z只有形如nZ的理想。

一些结论

  • 在环中,(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。
  • 对于R的两个理想A,B,记 。按定义不难证明:
  1. 如果A是R的左理想,则AB是R的左理想。
  2. 如果B是R的右理想,则AB是R的右理想。
  3. 如果A是R的左理想,B是R的右理想,则AB是R的双边理想。
  • R的子集I是R的理想,若I满足:
  1. ∀a,b ∈ I,a - b∈I。
  2. ∀a ∈ I, r ∈ R,则a·r∈ I。
  • 交换环的理想:交换环的理想都是双边理想。
  • 除环的理想:除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

生成理想

如果   是环   的一个非空子集,令  , 其中

 

 

 

 

  是环   的理想,这个理想称为   中由   生成的理想,  称为生成元集。同群的生成子群类似,   中所有包含   的理想的交,因此是   中包含   的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况:

  1.   是交换环时, ;
  2.   是有单位元 的环时, ;
  3.   是有单位元的交换环时, .

主理想

设集合A = {a1,a2,...,an},则记<A> = <a1,a2,...,an>,称 是有限生成理想。特别当 是单元素集时,称 为环R的主理想。注意 作为生成元一般不是唯一的,如  的一般形式是:

 
  • 性质: 
几类特殊环中的主理想:
  1. 如果是交换环,则 
  2. 如果是有单位元的环,则 
  3. 如果是有单位元的交换环,则 

相关概念和结论

  • 真理想:若I是环R的理想,且I是R的真子集,I称为R的真理想
  • 极大理想:环R的一个真理想I被称为R的极大理想,若不存在其他真理想J,使得I是J的真子集
    • 极大左理想:设I是环R的左理想,若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想,则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系:
      1. 如果I是极大左理想,又是双边理想,则I是极大理想。
      2. 极大理想未必是极大左理想。
    • 单环:在幺环中,若零理想是其极大理想,称该环为单环
      • 除环是单环,其零理想是极大理想。
      • 域是单环。
    • 在整数环Z中,由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是:p是素数。
    • 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是:商环R / I是域。
    • 设I是环R的左理想,则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。
  • 素理想:环R的真理想I被称为素理想,若∀R上的理想A,B,有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
  • 素环:若环R的零理想是素理想,则称R是素环(或质环)。
    • 无零因子环是素环。
    • 在交换环R中,真理想I是素理想的充要条件是:R / I是素环。
  • 准素理想:环R的真理想I。若∀R上的理想P,有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I,称I是R的准素理想
    • 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想,反之不成立。

参考文献

  • Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
  • Lang, Serge. Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-22025-3. 
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
  • Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971, MR 0349811, Zbl 0237.18005 

注释

  1. ^ 1.0 1.1 John Stillwell. Mathematics and its history. 2010: 439. 
  2. ^ Harold M. Edwards. Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. 1977: 76. 
  3. ^ Everest G., Ward T. An introduction to number theory. 2005: 83. 

参见