矩阵乘法

数学中,矩阵乘法(英语:matrix multiplication)是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算,第三个矩阵即前两者的乘积,称为矩阵积(英语:matrix product)。设的矩阵,的矩阵,则它们的矩阵积的矩阵。中每一行的个元素都与中对应列的个元素对应相乘,这些乘积的和就是中的一个元素。

线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
“横向的一条线(row)”的各地常用名称
中国大陆
台湾
“纵向的一条线(column)”的各地常用名称
中国大陆
台湾

矩阵可以用来表示线性映射,矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此,矩阵乘法是线性代数的基础工具,不仅在数学中有大量应用,在应用数学物理学工程学等领域也有广泛使用。[1][2]

一般矩阵乘积

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数(column,中国大陆作列数,台湾作行数)和第二个矩阵的行数(row,中国大陆作行数,台湾作列数)相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。若  矩阵,  矩阵,则他们的乘积 (有时记做 )会是一个 矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出:

 

以上是用矩阵单元的代数系统来说明这类乘法的抽象性质。本节以下各种运算法都是这个公式的不同角度理解,运算结果相等:

由定义直接计算

 

左边的图表示出要如何计算   元素,当 是个 矩阵和B是个 矩阵时。分别来自两个矩阵的元素都依箭头方向而两两配对,把每一对中的两个元素相乘,再把这些乘积加总起来,最后得到的值即为箭头相交位置的值。

 
 

向量方法

这种矩阵乘积亦可由稍微不同的观点来思考:把向量和各系数相乘后相加起来。设  是两个给定如下的矩阵:

   

其中

 是由所有 元素所组成的向量(column), 是由所有 元素所组成的向量,以此类推。
 是由所有 元素所组成的向量(row), 是由所有 元素所组成的向量,以此类推。

 

举个例子来说:

 
 

左面矩阵的列为为系数表,右边矩阵为向量表。例如,第一行是[1 0 2],因此将1乘上第一个向量,0乘上第二个向量,2则乘上第三个向量。

向量表方法

一般矩阵乘积也可以想为是行向量列向量内积。若  为给定如下的矩阵:

  

其中,这里

 是由所有 元素所组成的向量, 是由所有 元素所组成的向量,以此类推。
 是由所有 元素所组成的向量, 是由所有 元素所组成的向量,以此类推。

 

 

性质

矩阵乘法是不可交换的(即 ),除了一些较特别的情况。很清楚可以知道,不可能预期说在改变向量的部分后还能得到相同的结果,而且第一个矩阵的列数必须要和第二个矩阵的行数相同,也可以看出为什么矩阵相乘的顺序会影响其结果。

虽然矩阵乘法是不可交换的,但  行列式总会是一样的(当  是同样大小的方阵时)。其解释在行列式条目内。

  可以被解释为线性算子,其矩阵乘积 会对应为两个线性算子的复合函数,其中B先作用。

在试算表中做矩阵乘法

 

以 Google Sheet 为例,选取储存格范围或者使用阵列,在储存格输入

=MMULT({1,0,2;-1,3,1},{3,1;2,1;1,0})

在某些试算表软件中必须必须按Ctrl+⇧ Shift+↵ Enter 将储存格内的变数变换为阵列

标量乘积

矩阵 和标量 的标量乘积 的矩阵大小和 一样, 的各元素定义如下:

 

若我们考虑于一个的矩阵时,上述的乘积有时会称做左乘积,而右乘积的则定义为

 

当环是可交换时,例如实数域或复数域,这两个乘积是相同的。但无论如何,若环是不可交换的话,如四元数,他们可能会是不同的。例如,

 

阿达马乘积

给定两个相同维度的矩阵可计算有阿达马乘积Hadamard product),或称做逐项乘积分素乘积element-wise product, entrywise product)。两个 矩阵  阿达马乘积标记为 ,定义为   矩阵。例如,

 

需注意的是,阿达马乘积是克罗内克乘积的子矩阵

克罗内克乘积

给定任两个矩阵  ,可以得到两个矩阵的直积,或称为克罗内克乘积 ,其定义如下

 

 是一 矩阵和 是一 矩阵时, 会是一 矩阵,而且此一乘积也是不可交换的。

举个例子,

 

  分别表示两个线性算子   便为其映射的张量乘积 

共同性质

上述三种乘积都符合结合律

 

以及分配律

 
 

而且和标量乘积相容:

 
 
 

注意上述三个分开的表示式只有在标量体的乘法及加法是可交换(即标量体为一可交换环)时会相同。

另见

外部链接

参考

  1. ^ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. Encyclopaedia of Physics 2nd. VHC publishers. 1991. ISBN 3-527-26954-1 (英语). 
  2. ^ Parker, C. B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. 1994. ISBN 0-07-051400-3 (英语). 

其它参考文献包括:

  • Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
  • Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
  • Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
  • Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.