硬币悖论

硬币悖论（英语：coin rotation paradox）是一种反直觉的现象，即当一枚硬币绕着另一枚相同大小的硬币的边缘滚动时，移动的硬币在绕着静止的硬币一圈后完成两个完整的转动。^[1]

描述

从桌子上两个相同的硬币开始，它们正面朝上并平行。保持硬币A静止，沿硬币A旋转硬币B，保持接触点不打滑。当硬币B到达对面时，两个正面将再次平行；硬币B进行了一次旋转。继续移动硬币B使其回到起始位置并完成第二次旋转。矛盾的是，硬币B滚动的距离等于其周长的两倍。

当硬币B旋转时，其周边上的每个点都形成（穿过）心脏线。

从头到尾，移动硬币的中心沿圆形路径行进。静止硬币的边缘和所述路径形成两个同心圆。路径的半径是硬币半径的两倍；因此，路径的周长是硬币周长的两倍。^[2]移动硬币的中心绕硬币周长两倍而不会滑动；因此，移动的硬币完成了两次完整的旋转。移动的硬币在途中围绕自己的中心旋转的次数或方向对路径的长度没有影响。

当R=3r的例子。在图1中，R被拉直后，旋转次数（箭头指向上方的次数）为R/r=3。在图2中，由于R被还原成一个圆，硬币多转了一圈，得到R/r+1=4。

一枚小硬币绕着一枚大硬币旋转

一个半径为r的硬币绕着一个半径R的圆滚动，旋转R/r+1圈。^[3]那是因为滚动硬币的中心沿半径（或周长为(R+r)/r=R/r+1倍其自身半径（或周长）的圆形路径行进。在R=0的极限情况下，半径为r的硬币围绕其底部点进行0/r+1=1次简单旋转。

1982年5月1日的SAT考题就是关于这个问题的，由于人为失误，三名学生证明选项中没有正确答案后，不得不重新评分。^[4]

硬币滚动的形状不一定是圆形：当它是任何不相交的简单多边形或闭合曲线时，它们的周长比会增加一个额外的旋转。如果形状复杂，则增加（如果硬币在曲线内滚动则减少）的旋转次数是其旋转次数的绝对值。

^ Weisstein, Eric W. (编). Coin Paradox. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Bunch, Bryan H. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Van Nostrand Reinhold. 1982: 10–11. ISBN 0-442-24905-5.
^ Talwalkar, Presh. Everyone Got This SAT Math Question Wrong. MindYourDecisions. 5 Jul 2015 [2022-03-18]. （原始内容存档于2022-03-17） –通过YouTube.
^ Error found in S.A.T. question. The New York Times. United Press International. May 25, 1982 [2021-02-09]. ISSN 0362-4331. （原始内容存档于2022-03-24）（美国英语）.

这个被赞成的答案包括关于原始问题的动画和直观解释，其中“外硬币”的r是内硬币半径的1/3。