秩 (微分拓扑)

数学上，一个可微映射f : M → N在一点p的秩，是f的导函数的秩。映射f在点p的导数是一个线性映射

$d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,$

从点p的切空间到点f(p)的切空间。因为是向量空间之间的线性映射，故其秩有明确定义，即是T_f(p)N的像的维数：

$\operatorname {rank} (f)_{p}=\dim(\operatorname {im} (T_{p}f)).$

常秩映射

可微映射f : M → N称为有常秩，落f的秩在M中每一点p都相同。常秩映射有一些很好的性质，是微分拓扑中的重要概念。

有三类特别的常秩映射：一个常秩映射f : M → N是

• 浸入，若rank f = dim M（导函数处处单射）；
• 浸没，若rank f = dim N（导函数处处满射）；
• 局部微分同胚，若rank f = dim M = dim N（导函数处处双射）。

以上的条件只牵涉到f的导函数的性质，不要求映射f是单射、满射或双射。例如有一些映射是单射却非浸入，或是浸入却非单射。不过若f : M → N是常秩光滑映射，则

• 若f是单射，则是浸入；
• 若f是满射，则是浸没；
• 若f是双射，则是微分同胚。

常秩映射可以用局部座标系得出一个好的描述。设M和N是光滑流形，维数分别为m和n，映射f : M → N是光滑映射，并有常秩k。那么对M中每一点p，都存在以p为中心的局部座标(x¹, ..., x^m)，及以f(p)为中心的局部座标(y¹, ..., yⁿ)，使得f用这些座标可以表示为：

$f(x^{1},\ldots ,x^{m})=(x^{1},\ldots ,x^{k},0,\ldots ,0)\,$

参考

• Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. New York: Springer. 2003. ISBN 978-0-387-95495-0.