不等式

數學陳述,兩個值之間存在不等式

不等式数学名词,是指表示二个量之间不等的叙述[1]。一般用两个表示式表示要探讨的量,中间再加上不等关系的符号,表示两者的关系。以下是一些不等式的例子:

有些作者认为不等式只能用来表示中间有出现不等号≠的关系式[2]

连锁的不等式

若几个不等式中间有共用的变数,而且几个不等式有逻辑与的关系,有时会直接将不等式写在一起来简化。例如不等式

 

是以下不等式的缩写

 

不等式的求解

 
一个不等联立方程式的解集合(图中标示feasible region的部分

含有未知数的不等式也可以求解。不等式求解和方程求解类似,是要找到使特定不等式(或是联立不等式)成立的变数值。这些不等式中会包括称为未知数的变数,求解不等式就是要找到使不等式满足的未知数。更准确的说,要找的不一定是实际的值,而是较一般性的表示式。不等式的解是一组可以满足不等式的表示式,也就是说,若将这些表示式代入未知数中,即可满足不等式。 不等式求解时,常会加入一个额外的目标变数,要设法找到目标变数的最大值或最小值,此一问题就变成最佳化问题,要找到使目标变数最大或最小的最佳解,而不等式则是其约束条件[3]

例如

 

是一组不等式的组合,写成连锁不等式(其中 可以当成and),其解的集合在附图中的蓝色区域(红线、绿线和橘线分别对应第一个条件、第二个条件及第三个条件。)。上述问题的约束条件都是线性的,若目标函数也是线性,即属于线性规划的范围。

线性规划的最佳解可以用单纯形法求解[4]Prolog III 编程语言也有提供解特定不等式的算法,是其语言的特征之一,细节可以参考约束逻辑程式设计英语Constraint logic programming

不等式中的其他意义

因为一些函数(例如根号)的特性,有些不等式会等于一个联立不等式。例如不等式 和以下的联立不等式相同:

  1.  
  2.  
  3.  

参考资料

  1. ^ Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley and Sons. 2002: 252. ISBN 0-471-15045-2. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Inequation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ Stapel, Elizabeth. Linear Programming: Introduction. Purplemath. [2019-12-03]. (原始内容存档于2023-10-27). 
  4. ^ Optimization - The simplex method. Encyclopedia Britannica. [2019-12-03]. (原始内容存档于2024-03-08) (英语). 

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