二复合二十面体

几何学中,二复合二十面体是指由2个正二十面体复合而成的复合多面体。这种立体具备八面体群对称性。[1]

二复合二十面体
二复合二十面体
类别复合多面体
对偶多面体二复合十二面体在维基数据编辑
识别
名称二复合二十面体
参考索引UC46
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_h3 3 node_h3 4 node 
node_h3 3 node_h3 3 node_h3 
施莱夫利符号β{3,4}
βr{3,3}
性质
2
40
60
顶点24
欧拉特征数F=40, E=60, V=24 (χ=4)
组成与布局
复合几何体数量2
复合几何体种类2个正二十面体
面的种类40个正三角形
对称性
对称群八面体群 (Oh)
完全扭棱八面体, β{3,4}

作为完全扭棱立体

二复合二十面体可以视作一种完全扭棱(holosnub)的立体,就类似正四面体可以扭棱成结构等价于正二十面体扭棱四面体一般[2]。作为一个完全扭棱立体的二复合二十面体在施莱夫利符号中可以用β{3,4}表示,在考克斯特符号中可以用     表示。其中,符号β表示完全扭棱[2]

对称性

二复合二十面体由2个正二十面体组成,每个正二十面体由20个三角形组成。这40个三角形在对称群的群作用下分解为两条轨道:其中16个三角形两两共面落在八面体平面中,而其他24个三角形各自位于独立的平面中。其他具备二十面体对称性之立体的二复合体也具有类似特性。[3]

相关多面体

二复合二十面体除了八面群对称性的复合结构外,还有另外两种复合结构。[4]

二复合十二面体

二复合十二面体
 
类别复合多面体
对偶多面体二复合二十面体
性质
2
24
60
顶点40
欧拉特征数F=24, E=60, V=40 (χ=4)
组成与布局
复合几何体数量2
复合几何体种类2个正十二面体
面的种类24个正五边形
对称性
对称群八面体群 (Oh)

二复合二十面体是二复合十二面体的对偶多面体[3]。二复合十二面体顾名思义即2个正十二面体的复合体。其可以透过将正十二面体沿着内接立方体的4重对称轴之一旋转90度产生下一个正十二面体并与原有的正十二面体复合而成。在这个复合体当中8个顶点是原始立方体的顶点,另外24个顶点位于更大立方体的面上。[3]

这个立体的复合方式与五角十二面体的二复合体相同,皆位于对偶位置。同时五角十二面体的二复合体也是黄铁矿晶型的一种可能结构。[5]

 
二复合五角十二面体:位于对偶位置的黄铁矿晶体模型的木质模型

这种复合结构由24组多边形组成,每组多边形包含2个不等边三角形和一个等腰三角形。其中不等边三角形的一个边长与等腰三角形的腰长相等,且其长度与二复合体对应的正十二面体边长相等、第二条边长为正十二面体边长的一半、第三条边长为:[6]

长边长度 

等腰三角形的底边长为:[6]

底边长 

则其表面积 为:[6]

 

其中 为二复合体对应的正十二面体边长、 黄金比例[6]

完全扭棱立体

完全扭棱立体
原像  
正四面体
 
立方体
 
正八面体
 
正十二面体
 
正二十面体
完全扭棱  
完全扭棱四面体
β{3,3}
 
完全扭棱立方体
β{4,3}
 
二复合二十面体
β{3,4}
 
完全扭棱十二面体
β{5,3}
 
完全扭棱二十面体
β{3,5}

参见

参考文献

  1. ^ Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 (3): 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440 
  2. ^ 2.0 2.1 Klitzing, Richard. Snubs, Alternated Facetings, & Stott-Coxeter-Dynkin Diagrams. Symmetry-Culture and Science (Symmetrion 29 etvs st, Budapest, 1067, Hungary). 2010, 21 (4): 329––344. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 George W. Hart. Compounds of Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. (原始内容存档于2019-04-17). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedron 2-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  5. ^ Modell eines Kristalls des Minerals Pyrit (Eisernes Kreuz) [Krantz 375]. universitaetssammlungen.de. [2021-09-05]. (原始内容存档于2021-09-05). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Weisstein, Eric W. (编). Dodecahedron 2-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).