交运算

在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。

通常把 $x$ 和 $y$ 的交指示为 $x\land y$。

偏序定义

设 A 是带有偏序 $\leq$ 的一个集合，并设 $x$ 和 $y$ 是 A 中的两个元素。A 的一个元素 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的交(或最大下界或下确界)，如果满足了下列两个条件:

1. $z\leq x$ 且 $z\leq y$ (就是说，$z$ 是 $x$ 和 $y$ 的下界)；

2. 对于 A 中的任何 $w$，使得 $w\leq x$ 且 $w\leq y$，有着 $w\leq z$ (就是说，$z$ 大于任何其他 $x$ 和 $y$ 的下界)。

如果有 $x$ 和 $y$ 的交，则它的确是唯一的，因为如果 $z$ 和 $z'$ 都是 $x$ 和 $y$ 的最大下界，则 $z\leq z'\leq z$，因而 $z=z'\,$。如果交确实存在，它被指示为 $x\land y$。在 A 中的某对元素可能缺乏一个交，要么因为它们根本没有下界，要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交，则交实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 A 中任何元素 $x$, $y$ 和 $z$

a. $x\land y=y\land x$ (交换律)，

b. $x\land (y\land z)=(x\land y)\land z$ (结合律)，

c. $x\land x=x$ (幂等律)。

泛代数定义

通过定义，在集合 A上的 二元运算 $\land$ 是交，如果它满足上面的三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,$\land$) 就是交半格。此外，我们可以定义在 A 上二元关系 $\leq$，通过声称 $x\leq y$ 当且仅当 $x\land y=x$。实际上，这个关系是在 A 上的偏序。对于 A 中任何元素 $x$, $y$ 和 $z$ 有

$x\leq x$，因为 $x\land x=x$，通过公理 c；

如果 $x\leq y$ 且 $y\leq x$ 则 $x=x\land y=y\land x=y$，通过公理 a；

如果 $x\leq y$ 且 $y\leq z$ 则 $x\leq z$，因为 $x\land z=(x\land y)\land z=x\land (y\land z)=x\land y=x$，通过公理 b 。

两个定义的等价性

如果 (A,$\leq$) 是偏序集合，使得对于每对 A 中的元素都有交，则确实有 $x\land y=x$ 当且仅当 $x\leq y$，因为在后者情况下 $x$ 确实是 $x$ 和 $y$ 的下界，并且明显的 $x$ 是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来，如果 (A,$\land$) 是交半格，并且偏序 $\leq$ 按泛代数方式定义，对于A 中某些元素 $x$ 和 $y$ 有 $z=x\land y$，则 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 关于 $\leq$ 的最大下界，因为 $z\land x=x\land z=(x\land x)\land y=z\;\Rightarrow \;z\leq x$，类似的 $z\leq y$，并且如果 $w$ 是 $x$ 和 $y$ 的另一个下界，则 $w\land x=w\land y=w$，从而 $w\land z=w\land (x\land y)=(w\land x)\land y=w\land y=w$。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。

换句话说，两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都由另一个确定，而且分别满足偏序或交的条件。

一般子集的交

如果 (A,$\land$) 是交半格，则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交，通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的，如果交定义或定义自一个偏序，A 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集，这两种方式产生同样的结果，因为都可以做为交的定义。在 A 的每个子集都有交的情况下，(A,$\leq$) 是完全格；详情参见完全性 (序理论)。

参见

• 下确界
• 格 (数学)
• 偏序集合
• 并运算