分离原理

控制理论中的分离原理（separation principle），之前曾称为估测及控制分离原理（principle of separation of estimation and control）是指若一些假设条件成立的前提下，一随机系统的最佳回授控制器设计，可以先设计最佳的状态观测器，观测系统状态，再将状态反馈到决定性的最佳控制器中，即可求解。因此问题可以分离为二个部分，有助于控制器的设计。

已证明若已针对一线性时不变系统设计了BIBO稳定的状态观测器，以及稳定的状态反馈，将此状态估测器及控制器合并之后的系统也是稳定的。这就是此原理的例子之一。不过针对非线性系统，此原理不一定会成立。

另一个分离原理的例子是在处理线性随机系统的最佳化问题，例如要设计状态估测器以及使二次代价函数达到最小值的最佳回授控制器。若程序的噪音以及观测到的噪音都是高斯噪音，则可以将这个最佳解分成卡尔曼滤波器以及LQR控制器，这就是LQG控制。考虑更通用的情形，若有适当的条件，且噪音为martingale（可能有jumps）也可以进行分离，这就是随机控制的分离原理

分离原理也可以用在非线性系统中状态估测的高增益观测器，以及量子系统的控制。

确定性线性时不变系统控制理论的证明

考虑一个确定性LTI系统：

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中

$u(t)$为输入信号

$y(t)$为输出信号

$x(t)$为系统内部状态

可以设计以下的估测器

${\dot {\hat {x}}}=(A-LC){\hat {x}}+Bu+Ly\,$

及状态回授

$u(t)=-K{\hat {x}}\,.$

定义误差e:

$e=x-{\hat {x}}\,.$

则

${\dot {e}}=(A-LC)e\,$

$u(t)=-K(x-e)\,.$

可以将闭回路的动态表示为

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {e}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BK&BK\\0&A-LC\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\e\\\end{bmatrix}}.$

因为这是三角矩阵，其特征值即为A − BK的特征值以及 A − LC的特征值。因此估测器及回授的稳定性彼此线性无关。

参考资料

• Brezinski, Claude. Computational Aspects of Linear Control (Numerical Methods and Algorithms). Springer, 2002.