完备化 (环论)

在交换代数中，可以探讨一个交换环 $R$ 本身，或一个 $R$-模对一理想 $I\subset R$ 的完备性。由于完备环有较容易处理的性质，完备化是研究交换环的基本工具。

几何上，交换环的完备化对应到一个闭子概形的形式邻域。

I-进拓扑

对于一个交换环 $R$ 及其理想 $I$（通常取为极大理想），可以借着取 $I^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ 为零元的开邻域，赋予 $R$ 相应的拓扑结构，使之成为对加法的拓扑群。这种拓扑称为 $I$-进拓扑。

对于一个 $R$-模 $M$，同样可考虑零元的开邻域 $I^{n}M$，由此得到 $M$ 上的 $I$-进拓扑。

完备化及其性质

模 $M$ 对 $I\subset R$ 的完备化定义为射影极限：

${\hat {M}}:=\varprojlim _{n}M/I^{n}M$

正如其名，${\hat {M}}$ 对其 $I$-进拓扑是完备的。对于固定的 $I\subset R$，$M\mapsto {\hat {M}}$ 是从 $R$-模范畴（态射为模同态）到 $I$-进拓扑 $R$-模（态射为连续同态）的函子；透过自然同态 $M\to {\hat {M}}$，它是与之反向的遗忘函子的左伴随函子，因而是右正合的。

对于诺特环，${\hat {R}}$ 是平坦的 $R$-模。此时，对任何有限生成 $R$-模 $M$，自然态射 ${\hat {M}}\to M\otimes _{R}{\hat {R}}$ 是个同构。综上所述，对于诺特环 $R$上的有限生成 $R$-模，完备化是个正合函子。

此外，完备化也可以用柯西序列构造，得到的对象是自然同构的。

例子

• p进整数是 $\mathbb {Z}$ 对 $p\mathbb {Z}$ 的完备化。
• 形式幂级数环 $k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ 是多项式环 $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 对 $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ 的完备化。

文献

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6