尤尔卡特-里歇特定理

尤尔卡特-里歇特定理（Jurkat–Richert theorem）是筛法上的数学定理，这定理是关于歌德巴赫猜想的陈氏定理的关键部分。这定理在1965年由沃尔夫冈·B·尤尔卡特（Wolfgang B. Jurkat）及汉斯-埃贡·里歇特所证明。

定理陈述

以下公式表示取自哈罗德·G·戴蒙德（Harold G Diamond）与哈伯斯塔姆。其他的公式表示可见于尤尔卡特与里歇特、哈伯斯塔姆与里歇特、以及梅尔文·B·内桑森等人的结果。

假定$A$是一个整数的有限序列，而$P$是质数集合，设$A_{d}$为$A$中可被$d$除尽的元素构成的集合，并设$P(z)$为$P$中小于$z$的质数的乘积，然后再设$\omega (d)$为一个使得$\omega (p)/p$大致与$A$中可被$p$除尽的元素成比例的积性函数。然后$X$为$A$中元素的大致个数，则其余项可表示如下：

$r_{A}(d)=\left|A_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.$

设$S(A,P,z)$为$A$中与$P(z)$彼此互质的元素的个数，则有下式：

$V(z)=\prod _{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).$

再设$\nu (m)$为$m$彼此相异的质因数的数量，并设$F_{1}$及$f_{1}$为满足特定微分差分方程的方程式。（可参见戴蒙德与哈伯斯塔姆的书以知其定义与性质）现在假定筛选密度的维度为一，也就是在存在常数$C$，使得$2\leq z<w$的情况下，可得以下关系式：

$\prod _{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac {\log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).$

（戴蒙德与哈伯斯塔姆的书将此定理延伸到维度大于一的状况）那么尤尔卡特—里歇特定理就表示说对于任意满足$2\leq z\leq y\leq X$的数$y$与$z$而言，有以下关系式：

$S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|$

及

$S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.$