弱哥德巴赫猜想

弱哥德巴赫猜想(英语:Goldbach's weak conjecture),又称为奇数哥德巴赫猜想(英语:odd Goldbach conjecture)、三素数问题(英语:3-primes problem),其表述为:

普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信
任一大于5的奇数都可以表示为三个素数之和[1]

如果“强”哥德巴赫猜想成立,便可以推出此猜想,故这一猜想被称为“弱”哥德巴赫猜想。(强哥德巴赫猜想成立意味着大于4的偶数都可表示为两个奇素数之和,再加上3就可以使大于7的奇数表示为三个奇素数之和)

2013年5月13日,法国国家科学研究院巴黎高等师范学院数论领域的研究员哈洛德·贺欧夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想[2][3]。哈洛德·贺欧夫各特在文章“Minor arcs for Goldbach's problem”中[2],给出了指数和( exponential sum)形式的一个新界。在文章“Major arcs for Goldbach's theorem”中[3],哈洛德·贺欧夫各特综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法(主要工具是傅里叶分析,创建了一个周期函数,其范围包括所有素数),筛法指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,哈洛德·贺欧夫各特的同事大卫·普拉特用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想,从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。[4]

研究史

1923年,英国数学家哈代李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。

1937年,苏联数学家伊万·维诺格拉多夫(Ivan Vinogradov)更进一步,在无需广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和,被称为维诺格拉多夫定理。不过由于维诺格拉多夫的证明使用了西格尔-瓦尔菲施定理(Siegel–Walfisz theorem),因而无法给出“充分大”的界限。他的学生博罗兹金(K. Borozdin)于1939年确定了一个“充分大”的下限: 。然而这一数字有6,846,169位,要验证比该数小的所有数是完全不可行的。

法国数学家奥利维耶·拉马雷(Olivier Ramaré)于1995年证明,不小于4的偶数都可以表示为最多六个素数之和。而莱塞克·卡涅茨基(Leszek Kaniecki)则证明了在黎曼猜想成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。[5]2012年,陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。[6]

1997年,戴舍尔(Deshouillers)、埃芬格(Effinger)、特里尔(te Riele)与季诺维也夫(Zinoviev)证明,在广义黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。[7]这一结果由两部分构成,其一是证明了大于 时弱哥德巴赫猜想成立,而小于此数的情况则由计算机验证得到。

2002年,香港大学的廖明哲与王天泽把“充分大”的下限降至 。不过这仍然超出了计算机验证的范围(计算机仅对 以下的数验证过强哥德巴赫猜想,弱哥德巴赫猜想的验证范围比此略多)。不过这一下限已经足够小,使得比其小的单个奇数都可以用现有的素性测试来验证,如椭圆曲线素性测试英语Elliptic curve primality已被用来验证多达26,643位数的素性。[8]

2012 年和 2013 年,秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文,改进了大弧和小弧估计,足以无条件证明弱哥德巴赫猜想。

参考文献

  1. ^ Helfgott, Harald Andrés. The ternary Goldbach problem. 2015. arXiv:1501.05438  [math.NT]. 
  2. ^ 2.0 2.1 Minor arcs for Goldbach's problem. [2013-06-15]. (原始内容存档于2013-07-29). 
  3. ^ 3.0 3.1 Major arcs for Goldbach's theorem. [2013-06-15]. (原始内容存档于2013-07-29). 
  4. ^ 两项证明激荡数论研究”作者:张冬冬《中国科学报》 2013-05-27 第3版. [2022-06-25]. (原始内容存档于2021-10-06). 
  5. ^ Kaniecki, Leszek. On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis. Acta Arithmetica 4. 1995: 361–374. 
  6. ^ Terence Tao. Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes. [2012-08-18]. (原始内容存档于2016-01-18). 
  7. ^ Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis (PDF). Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 1997, 3 (15): 99–104 [2012-08-18]. doi:10.1090/S1079-6762-97-00031-0. (原始内容 (PDF)存档于2008-07-25). 
  8. ^ N. Lygeros, F. Morain, O. Rozier. Quelques nombres premiers prouvés par mes programmes. [2012-08-18]. (原始内容存档于2022-01-21).