斜方二十面体
在几何学中，斜方二十面体是一种星形均匀多面体，由30个正方形和20个正六边形组成，是一种无法直接由施莱夫利符号或考克斯特记号表示的均匀多面体。 [1]
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| 类别 | 星形均匀多面体 | |||
|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 斜方星形二十面体 | |||
| 识别 | ||||
| 名称 | 斜方二十面体 | |||
| 参考索引 | U56, C72, W96 | |||
| 鲍尔斯缩写 | ri | |||
| 数学表示法 | ||||
| 威佐夫符号 | 2 3 (5/4 5/2) | | |||
| 性质 | ||||
| 面 | 50 | |||
| 边 | 120 | |||
| 顶点 | 60 | |||
| 欧拉特征数 | F=50, E=120, V=60 （χ=-10） | |||
| 组成与布局 | ||||
| 面的种类 | 30个正方形 20个正六边形 | |||
| 面的布局 | 30{4}+20{6} | |||
| 顶点图 | 4.6.4/3.6/5 | |||
| 对称性 | ||||
| 对称群 | Ih, [5,3], *532 | |||
| 特性 | ||||
| 顶点正、非凸 | ||||
| 图像 | ||||
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性质
斜方二十面体的外观与斜方截半大十二面体移除正五边形和正五角星（或称正5/2角形[2]）的结果十分类似[3]。实际上要从斜方截半大十二面体透过移除正五边形和正五角星面构成一个斜方二十面体还需要在当中适当的位置补上正六边形面才能构成，而当中的正方形面则为斜方截半大十二面体与斜方二十面体共同拥有的部分[4]。
| 斜方二十面体 |
 斜方截半大十二面体 |
面的组成
外观上，斜方二十面体由30个正方形和20个正六边形组成，但考虑到其拓朴结构，如面连接的方向，则斜方二十面体可视为由4种多边形组成，分别为正方形，施莱夫利符号{4}、正六边形，施莱夫利符号{6}、反著连接的正方形，施莱夫利符号{4/3}以及反著连接的正六边形，施莱夫利符号{6/5}，其数量分别为正方形15个、反著连接的正方形15个、正六边形10个以及反著连接的正六边形10个[5]。其面在顶点周围的分布为：每个顶点都是正方形、正六边形、反著连接的正方形和反著连接的正六边形的公共顶点，在顶点图中可以用{6, 4, 6/5, 4/3}表示[6]。
 面在顶点周围的分布 |
相关多面体
有数种均匀多面体与均匀多面体复合体和斜方截半大十二面体共用顶点排布，分别为十复合三角柱、二十复合三角柱和斜方截半大十二面体等。
 凸包 |
斜方截半大十二面体 |
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| 斜方二十面体 |
 十复合三角柱 |
 二十复合三角柱 |
全截大二十面体
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| 类别 | 退化星形均匀多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 数学表示法 | |||
| 考克斯特符号 |      | ||
| 施莱夫利符号 | t0,1,2{5/2,3} | ||
| 性质 | |||
| 面 | 62 | ||
| 边 | 120 | ||
| 顶点 | 60 | ||
| 欧拉特征数 | F=62, E=120, V=60 （χ=2） | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 | 12个退化截角五角星 20个正六边形 30个正方形 | ||
| 顶点图 | 2[4,6,10/2] | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | Ih, [5,3], *532 | ||
| 特性 | |||
| 顶点正、非凸 | |||
| 图像 | |||
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全截大二十面体是一种是一种退化的均匀星形多面体，其外观与斜方二十面体的12个五边形空隙中加入退化的截角五角星所形成的立体相同[7]。其中退化的截角五角星为绕两圈的五边形，在施莱夫利符号中可以用{10/2}表示[7]。
性质
全截大二十面体为大二十面体经过全截（Omnitruncation）变换的结果。其变换过程与正二十面体变换为大斜方截半二十面体的过程相同，会使原有的面截角，并生成对偶的面截角之结果与正方形面，其通常会与先截半再截角的结果拓朴结构类似或相同[8]。大二十面体经过全截变换后应具有62个面、180条边和120个顶点，然而因为有部分边和顶点两两重和，[7]因此所形成的立体仅有62个面、120条边和60个顶点，而此结构正好使欧拉示性数为2。
 大截半二十面体 |
全截大二十面体 |
斜方二十面体 |
面的组成
全截大二十面体由12个退化截角五角星、20个正六边形和30个正方形组成，每个顶点都是重复两组的正方形、六边形和退化截角五角星的公共顶点，在顶点图中可以用2[4,6,10/2]表示[7]。
 面在顶点周围的分布 |
变种
全截大二十面体有一种变种，即原像施莱夫利符号计为{5/4,3}的全截结果。其结果为斜方二十面体的12个五角星空隙中加入退化的星形十边形所形成的立体[9]，且该星形十边形为施莱夫利符号计为{10/4}的星形十边形，实际上围绕两圈的五角星。[9]
参见
参考文献
- ^ Richard Klitzing. other non-kaleidoscopical uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-10-14]. （原始内容存档于2018-07-07）.
- ^ 半正多面体の変形枠. bbiq.jp. [2019-09-01]. （原始内容 请检查
|url=值 (帮助)存档于2019-09-01） （日语）. - ^ R. Klitzing. Raded-Facetings. [2019-10-15]. （原始内容存档于2018-09-17）.
- ^ George W. Hart. Slide - Togethers. [2019-10-15]. （原始内容存档于2018-06-23）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhombicosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Uniform Polyhedra 56: rhombicosahedron. mathconsult. [2019-10-14]. （原始内容存档于2018-05-02）.
- ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 Richard Klitzing. ri+12{10/2}, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org.
- ^ Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp.145-154 Chapter 8: Truncation, p 210 Expansion)
- ^ 9.0 9.1 Richard Klitzing. ri+12{10/4}, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org.