爱因斯坦关系

在分子运动论中，爱因斯坦关系是一个以前没有想到的关系，由阿尔伯特·爱因斯坦在1905年和Marian Smoluchowski在1906年独立发现：

$D={\mu _{p}\,k_{B}T}$

把D——扩散常数，和μ_p——粒子的迁移率联系起来；其中$k_{B}$是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。

迁移率μ_p是粒子的终极速度与作用力之比：μ_p = v_d / F。

这个方程是涨落耗散定理的一个早期的例子。它在电子扩散的现象中经常使用。

粒子的扩散

在低雷诺数的极限下，迁移率$\mu$是阻力系数$\gamma$的倒数。对于半径为$r$的球形粒子，斯托克斯定律给出：

$\gamma =6\pi \,\eta \,r,$

其中$\eta$是介质的黏度。因此爱因斯坦关系变为：

$D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}$

这个方程也称为斯托克斯-爱因斯坦关系或斯托克斯-爱因斯坦-萨瑟兰方程。它可以用于估计球状蛋白在水溶液中的扩散系数：对于100kDalton的蛋白质，我们得到$D$ ~10^-10 m² s^-1，假设蛋白质的密度是“标准”的~1.2 10³ kg m^-3。

电传导

当应用于电传导的时候，通常把电迁移率定义为机械导纳$\mu _{p}$与载流子的电荷q的乘积：

$\mu _{q}=q*{\mu _{p}}$

也可以表述为：

$\mu _{q}={{v_{d}} \over {E}}$

其中E是施加的电场；因此爱因斯坦关系变为：

$D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}$

在任意态密度的半导体中，爱因斯坦关系为：

$D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}$

其中$\eta$是化学势，p是粒子数。

参考文献

• "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）