皮亚诺曲线
這是朱塞佩·皮亞諾發現的空間填充曲線的一個特例
此条目没有列出任何参考或来源。 (2012年7月3日) |
皮亚诺曲线（Peano curve）是一条能够填满正方形的曲线。
1890年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线，其构造方法如下：取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……。将这种操作手续无限进行下去，最终得到的“极限情况的曲线”[注 1]就被称作皮亚诺曲线。这样的曲线会填满整个一开始给定的正方形。
在传统概念中，曲线的维度是1，正方形维度是2，且1维的曲线直觉上不能填满2维的正方形。但是皮亚诺曲线正给出了反例。这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新思考维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中，维数可以是分数叫做分维。
此外，皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线，就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。
注释
- ^ 这里的极限具有如下意义：对皮亚诺曲线构造的每个阶段中的折线，我们可以以最自然的方式将其参数化成 , 使得 。而极限的曲线就是参数式为 的曲线。可以证明前述极限对每个 皆存在。
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
![{\displaystyle \textstyle (\lim _{n\to \infty }f_{n}(t),\lim _{n\to \infty }g_{n}(t)),t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aac024292cc12cc878bd87ad720c32912b1d0f)