立方体半形
在抽象几何学中，立方体半形是一种仅由一半数量的立方体面构成的抽象多面体。这个抽象多面体与立方体类似，它们的每个顶点都是3个正方形的公共顶点，然而立方体有6个面，而立方体半形仅有3个面；同时，这个立体无法嵌入在三维欧几里得空间中[2]。在拓朴学上，其可以视为正四面体的皮特里对偶[3]。
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| 类别 | 抽象多胞形 射影多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 八面体半形[1] | ||
| 原像 | 立方体 （半形体） | ||
| 名称 | 立方体半形 hemicube | ||
| 数学表示法 | |||
| 施莱夫利符号 | {4,3}/2 {4,3}3 | ||
| 性质 | |||
| 面 | 3 | ||
| 边 | 6 | ||
| 顶点 | 4 | ||
| 欧拉特征数 | F=3, E=6, V=4 （χ=1） | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 | 正方形 | ||
| 顶点图 | 4.4.4 | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | S4, 24阶 | ||
| 特性 | |||
| 不可定向、 欧拉示性数为1 | |||
| 图像 | |||
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性质
立方体半形由3个面、6条边和4个顶点组成，每个面都是正方形，且每个顶点都是3个正方形的公共顶点，在施莱夫利符号中可以用{4,3}/2或{4,3}3来表示，其中{4,3}代表且每个顶点都是3个正方形的公共顶点[4]，然而{4,3}代表正常的立方体，即正六面体，因此用“/2”符号来表示所有元素都仅有立方体的一半数量[5][6]。
立方体半形的对偶多面体为正八面体半形，这个在更高维度的类比结构中同样成立，即 维超方形半形（施莱夫利符号： ）的对偶多胞形为 维正轴形半形（施莱夫利符号： ）。[5][6]
特别地，这个立体的每个面皆与相邻面共用2条边，且每个面都包含了立体中所有顶点。一般而言，多胞形的面可以透过其点集来决定[7]，也就是说，一般不会存在2个相异面点集合相同的情况，因此这个立体是面无法仅从点集来确定的抽象多面体的例子之一。
构造
立方体半形可从有公共顶点的半个立方体（即三个面，下图的I、II、III）开始构造。此形状的边界为一个六边形，然后下一步是将此六条边分成三组对边（下图的4、5、6），将每对边（沿同一方向，例如顺时针）黏合，就得到立方体半形[4]。这样的构建方式使用了正四面体的骨架[8]，同时其构成的面不会共面[4]，其与正四面体的皮特里多边形相同，其骨架在图论中对应到四面体图，可以视为K4完全图嵌入于射影平面上的结果。[4]
 立方体半形 |
 K4完全图 |
 皮特里四面体 |
具象化
立方体半形可被视为是射影多面体 （可视为由三个四边形构成的实射影平面镶嵌）[9]。要将其视觉化，可以透过将射影平面构筑为一个半球体，并过半球体的边界连接对跖点，同时确保连接的部分能将半球体平均分割成三等份。
立方体半形和半立方体不同，立方体半形是一个射影多面体，且无法嵌入在三维欧几里得空间中[2]；而半立方体是一个位于三维欧几里德空间中的普通多面体。 虽然它们的顶点数皆为立方体的一半，立方体半形可以视为立方体的商空间，而半立方体则不是，半立方体只有顶点为立方体顶点的子集。
皮特里四面体
| 以不同颜色表示每个面 | |
| 类别 | 皮特里对偶 正则地区图 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 八面体半形 |
| 数学表示法 | |
| 施莱夫利符号 | {3,3}π {4,3}3 |
| 性质 | |
| 面 | 3 |
| 边 | 6 |
| 顶点 | 4 |
| 欧拉特征数 | F=3, E=6, V=4 （χ=1） |
| 二面角 | (不存在) |
| 对称性 | |
| 对称群 | Td, [3,3], *332 |
| 特性 | |
| 扭歪、正则 | |
皮特里四面体是正四面体的皮特里对偶[1][10]。在拓朴学上，这个结构与立方体半形同构，并可以视为立方体半形的一种具象化方式[4]。相对的立方体半形的皮特里对偶为正四面体，这意味着其皮特里多边形可以与半立方体（此例对应正四面体）的面对应[11]。也就是说，立方体半形和正四面体互为皮特里对偶。[1][10]
皮特里四面体由3个面、6条边和4个顶点组成，其中，3个面皆为正四面体的皮特里多边形。正四面体的皮特里多边形是一个扭歪四边形。[12]由于皮特里四面体由扭歪四边形组成[13]，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。[14]
皮特里四面体是一个不可定向且欧拉示性数为1的几何结构[1]。
 正四面体的皮特里多边形 |
 构成皮特里立方体的扭歪四边形面 |
皮特里四面体的顶点、边和面数皆为立方体的一半，因此皮特里四面体可以被立方体（的表面）二重复盖[1]。皮特里四面体的对偶多面体为八面体半形[1]。皮特里四面体可以截半为截半立方体半形[1][15]。
 皮特里四面体 |
以正则地区图表示的皮特里四面体 |
 皮特里四面体的对偶多面体以正则地区图表示 |
相关多面体
立方体半形是正多面体的半形体之一，其他也是正多面体的半形之结构有[6]：
| 立方体半形 |
八面体半形 |
 十二面体半形 |
 二十面体半形 |
立方体半形与皮特里四面体拓朴同构，其可以视为是正多面体的皮特里对偶之一。其他也是正多面体的皮特里对偶之几何结构有：[16]
| 皮特里四面体 |
 皮特里立方体 |
 皮特里八面体 |
 皮特里十二面体 |
 皮特里二十面体 |
参考资料
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
- ^ 2.0 2.1 Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.
- ^ Pellicer, D, Gráficas cpr y polytopos abstractos regulares (PDF), Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, 2007 [2021-07-31], （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）
- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA. 2007: 159–166 [2021-08-04]. （原始内容存档于2021-08-04）.
- ^ 5.0 5.1 Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients (PDF). arXiv preprint math/0310429. 2003 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.
- ^ 6.0 6.1 6.2 McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
- ^ Kaibel, Volker and Pfetsch, Marc E. Computing the face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences (PDF). Computational Geometry (Elsevier). 2002, 23 (3): 281–290 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.
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"Ribbed Hemicube" (June 2007) - 5"
- ^ Helfand, Ilanit, Constructions of k-orbit Abstract Polytopes, Northeastern University, 2013
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- ^ Bracho, Javier and Hubard, Isabel and Pellicer, Daniel. A Finite Chiral 4-Polytope in . Discrete & Computational Geometry (Springer). 2014, 52 (4): 799––805.
- ^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
- ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966
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