立方体半形

在抽象几何学中,立方体半形是一种仅由一半数量的立方体面构成的抽象多面体。这个抽象多面体与立方体类似,它们的每个顶点都是3个正方形的公共顶点,然而立方体有6个面,而立方体半形仅有3个面;同时,这个立体无法嵌入在三维欧几里得空间中[2]。在拓朴学上,其可以视为正四面体皮特里对偶[3]

立方体半形
立方体半形
类别抽象多胞形英语Abstract polytope
射影多面体英语projective polyhedron
对偶多面体八面体半形[1]
原像立方体半形体
名称立方体半形
hemicube
数学表示法
施莱夫利符号{4,3}/2
{4,3}3
性质
3
6
顶点4
欧拉特征数F=3, E=6, V=4 (χ=1)
组成与布局
面的种类正方形
顶点图4.4.4
对称性
对称群S4, 24阶
特性
不可定向欧拉示性数为1
图像

4.4.4
顶点图

八面体半形[1]
对偶多面体

性质

立方体半形由3个、6条和4个顶点组成,每个面都是正方形,且每个顶点都是3个正方形的公共顶点,在施莱夫利符号中可以用{4,3}/2或{4,3}3来表示,其中{4,3}代表且每个顶点都是3个正方形的公共顶点[4],然而{4,3}代表正常的立方体,即正六面体,因此用“/2”符号来表示所有元素都仅有立方体的一半数量[5][6]

 

立方体半形的对偶多面体为正八面体半形,这个在更高维度的类比结构中同样成立,即 维超方形半形(施莱夫利符号 )的对偶多胞形为 维正轴形半形(施莱夫利符号: )。[5][6]

特别地,这个立体的每个面皆与相邻面共用2条边,且每个面都包含了立体中所有顶点。一般而言,多胞形的面可以透过其点集来决定[7],也就是说,一般不会存在2个相异面点集合相同的情况,因此这个立体是面无法仅从点集来确定的抽象多面体的例子之一。

 

构造

立方体半形可从有公共顶点的半个立方体(即三个面,下图的I、II、III)开始构造。此形状的边界为一个六边形,然后下一步是将此六条边分成三组对边(下图的4、5、6),将每对边(沿同一方向,例如顺时针)黏合,就得到立方体半形[4]。这样的构建方式使用了正四面体的骨架[8],同时其构成的面不会共面[4],其与正四面体的皮特里多边形相同,其骨架在图论中对应到四面体图,可以视为K4完全图嵌入于射影平面上的结果。[4]

 
立方体半形
 
K4完全图
 
皮特里四面体

具象化

立方体半形可被视为是射影多面体英语projective polyhedron (可视为由三个四边形构成的实射影平面镶嵌[9]。要将其视觉化,可以透过将射影平面构筑为一个半球体,并过半球体的边界连接对跖点,同时确保连接的部分能将半球体平均分割成三等份。

立方体半形和半立方体不同,立方体半形是一个射影多面体英语projective polyhedron,且无法嵌入在三维欧几里得空间中[2];而半立方体是一个位于三维欧几里德空间中的普通多面体。 虽然它们的顶点数皆为立方体的一半,立方体半形可以视为立方体的商空间,而立方体则不是,半立方体只有顶点为立方体顶点的子集

皮特里四面体

皮特里四面体
 
以不同颜色表示每个面
类别皮特里对偶
正则地区图
对偶多面体八面体半形
数学表示法
施莱夫利符号{3,3}π
{4,3}3
性质
3
6
顶点4
欧拉特征数F=3, E=6, V=4 (χ=1)
二面角(不存在)
对称性
对称群Td, [3,3], *332
特性
扭歪正则

皮特里四面体是正四面体皮特里对偶[1][10]。在拓朴学上,这个结构与立方体半形同构,并可以视为立方体半形的一种具象化方式[4]。相对的立方体半形的皮特里对偶为正四面体,这意味着其皮特里多边形可以与半立方体(此例对应正四面体)的面对应[11]。也就是说,立方体半形和正四面体互为皮特里对偶[1][10]

皮特里四面体由3个面、6条边和4个顶点组成,其中,3个面皆为正四面体皮特里多边形正四面体皮特里多边形是一个扭歪四边形。[12]由于皮特里四面体由扭歪四边形组成[13],因此无法确立其封闭范围,故无法计算其表面积和体积。[14]

皮特里四面体是一个不可定向且欧拉示性数为1的几何结构[1]

 
正四面体皮特里多边形
 
构成皮特里立方体的扭歪四边形

皮特里四面体的顶点、边和面数皆为立方体的一半,因此皮特里四面体可以被立方体(的表面)二重复盖[1]。皮特里四面体的对偶多面体为八面体半形[1]。皮特里四面体可以截半截半立方体半形[1][15]

 
皮特里四面体
 
以正则地区图表示的皮特里四面体
 
皮特里四面体的对偶多面体以正则地区图表示

相关多面体

立方体半形是正多面体的半形体之一,其他也是正多面体的半形之结构有[6]

 
立方体半形
 
八面体半形
 
十二面体半形
 
二十面体半形

立方体半形与皮特里四面体拓朴同构,其可以视为是正多面体的皮特里对偶之一。其他也是正多面体的皮特里对偶之几何结构有:[16]

 
皮特里四面体
 
皮特里立方体
 
皮特里八面体
 
皮特里十二面体
 
皮特里二十面体

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  2. ^ 2.0 2.1 Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-07-31]. (原始内容 (PDF)存档于2021-08-06). 
  3. ^ Pellicer, D, Gráficas cpr y polytopos abstractos regulares (PDF), Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, 2007 [2021-07-31], (原始内容 (PDF)存档于2021-08-06) 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA. 2007: 159–166 [2021-08-04]. (原始内容存档于2021-08-04). 
  5. ^ 5.0 5.1 Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients (PDF). arXiv preprint math/0310429. 2003 [2021-07-31]. (原始内容 (PDF)存档于2021-08-06). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  7. ^ Kaibel, Volker and Pfetsch, Marc E. Computing the face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences (PDF). Computational Geometry (Elsevier). 2002, 23 (3): 281–290 [2021-07-31]. (原始内容 (PDF)存档于2021-08-06). 
  8. ^ Carlo H. Séquin. Sculpture designs and math models. University of California, Berkeley. [2021-07-31]. (原始内容存档于2021-10-22). "Ribbed Hemicube" (June 2007) - 5" 
  9. ^ Helfand, Ilanit, Constructions of k-orbit Abstract Polytopes, Northeastern University, 2013 
  10. ^ 10.0 10.1 The tetrahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2021-08-23). 
  11. ^ Bracho, Javier and Hubard, Isabel and Pellicer, Daniel. A Finite Chiral 4-Polytope in  . Discrete & Computational Geometry (Springer). 2014, 52 (4): 799––805. 
  12. ^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647 
  13. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966 
  14. ^ Barnard, L., Aro -- Healing Touching Lives -- Theories, Techniques and Therapies: The Techniques and Therapies of Aro-Healing, Xlibris UK, 2014 [2021-07-31], ISBN 9781483631646, (原始内容存档于2021-07-31) 
  15. ^ Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2021-01-26). 
  16. ^ Regular maps in the orientable surface of genus 0. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. (原始内容存档于2021-10-19). 

外部链接