非传递博弈
非传递博弈是一个通过多种策略得到一个或者更多“循环”选择的博弈。在非传递博弈中，如果策略A优于策略B，策略B优于策略C，并不能推导出策略A优于策略C。
非传递博弈的雏形是剪刀、石头、布。在概率博弈（probabilistic games）中，比如赌便士以一种更微妙的方式违反传递律，常常被表述为一个概率悖论（probability paradox）。
例子
一些非传递博弈的例子：
- 剪刀、石头、布
- 赌便士
- 非传递骰子
- 加州侧斑蜥蜴 (side-blotched lizard)，雄性蜥蜴的喉咙有橘色、黄色及蓝色三种，橘喉蜥蜴采用侵略策略，地盘范围大，地盘内有许多雌蜥蜴。黄喉蜥蜴则采用偷偷摸摸策略来反制，趁着橘喉蜥蜴一不注意，就溜进去橘喉蜥蜴的地盘和雌蜥蜴交配。但黄喉蜥蜴的策略又会被蓝喉蜥蜴破解，因为蓝喉蜥蜴生性妒忌，而且设下的地盘较小，后宫嫔妃少，陌生蜥蜴休想暗地偷情。然而，橘喉蜥蜴又会直接侵略蓝喉蜥蜴的地盘，掠夺蓝喉蜥蜴的妻妾。如此一来，三者之间形成美丽的对称。
- 当合作者、搭便车者、独处者的“三难”选择：
- 独处者不加入团体，只能得到一小笔钱。
- 自愿加入团体，成为合作者，就能得到比较大的奖励。
- 自愿加入团体再选择作弊而成为搭便车者，赢得的奖励则又更大。
- 但如果太多人选择当搭便车者，则合作者和搭便车者得到的奖励都会大减，反而还不如当个独处者。
- 以下的三种细菌族群：
那么，在培养皿中，A族群能杀死附近的B族群，B族群则能靠着生长速度来排挤C族群，而C族群又能靠着自体免疫力来排挤A族群！
- 假定以下四人各有一粒骰子，要两两相互比大小，掷出较大点数者获胜，各人的骰子每面分别为：
此时，如果我们让路人乙和路人甲比赛，会有以下四种结果：
- 5比4，路人乙胜（几率 ）
- 5比3，路人乙胜（几率 ）
- 0比4，路人甲胜（几率 ）
- 0比3，路人甲胜（几率 ）
因此，赌局对路人乙有利，她赢的几率为 。
类似的分析可知：路人甲胜路人丙，几率 ，路人丙胜路人丁，几率 ，但这并不表示路人乙一定也可以打败路人丁，因为，若真叫两人上场比赛，怪的是，路人丁会有 的几率获胜！
这说明了几率的不可递移性。
更经典的例子是下列三人的骰子：
三人各有 的几率打败另一人。（路人庚打败路人戊，路人戊打败路人己，而路人己又能打败路人庚）
- 也有超过两个立场相互对抗的情况，假定以下七人各有一粒骰子，要三个三个相互比大小，掷出最大点数者获胜，各人的骰子每面分别为：
- 小丸子: 7, 7, 10, 10, 16, 16
- 小玉: 6, 6, 8, 8, 19, 19
- 花轮: 5, 5, 13, 13, 15, 15
- 美环: 4, 4, 11, 11, 18, 18
- 丸尾: 3, 3, 9, 9, 21, 21
- 滨崎: 2, 2, 14, 14, 17, 17
- 野口: 1, 1, 12, 12, 20, 20
则我们可以发现小丸子能打败小玉、花轮、丸尾；小玉能打败花轮、美环、滨崎；花轮能打败美环、丸尾、野口；美环能打败小丸子、丸尾、滨崎；丸尾能打败小玉、滨崎、野口；滨崎能打败小丸子、花轮、野口；野口能打败小丸子、小玉、美环（各有 的几率）。因此，对于任意两人，都有第三个人同时能够打败他们！
- 或者是以下五人的骰子：
- 两津：4, 4, 4, 4, 4, 9
- 大原：3, 3, 3, 3, 8, 8
- 本田：2, 2, 2, 7, 7, 7
- 中川：1, 1, 6, 6, 6, 6
- 丽子：0, 5, 5, 5, 5, 5
则:
- 两津打败大原，大原打败本田，本田打败中川，中川打败丽子，丽子打败两津。
- 两津打败本田，本田打败丽子，丽子打败大原，大园打败中川，中川打败两津。
因此，对于当中的任意两人，都有第三个人同时能够打败他们。
参考资料
- Martin Gardner, "The Colossal Book of Mathematics", W.W. Norton & Company (2001).