在数学 上，韦达定理 （英语：Vieta's formulas ），又称根与系数的关系 ，给出了多项式方程 的根 与系数 的关系。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达 发现，并因此得名。
韦达定理常用于代数 领域。它的实用之处在于，能够不用把根直接解出来就能计算根之间的关系。
因为
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
M
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
a
n
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
⋯
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}
根据乘法原理展开右式，比较等号两边的各项系数可得
{
a
n
−
1
=
−
a
n
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
)
a
n
−
2
=
a
n
(
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
)
⋮
a
0
=
(
−
1
)
n
a
n
x
1
x
2
…
x
n
{\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}}
上式等同于韦达定理的叙述。
设
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
=
a
x
2
−
a
(
x
1
+
x
2
)
x
+
a
x
1
x
2
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
这个特殊情况除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式 即
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
+
(
−
b
)
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
x
2
=
(
−
b
+
b
2
−
4
a
c
)
(
−
b
−
b
2
−
4
a
c
)
(
2
a
)
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}}
在这个情况下，韦达定理的逆定理 同样成立：给定一个一元二次多项式
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle \,x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \,ax^{2}+bx+c\,}
设
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
a
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
a
,
x
1
x
2
x
3
=
−
d
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}
在 16 世纪，韦达发现了所有根都是正整数的版本，至于一般的版本 (根是实数)，可能首次由法国数学家 Albert Girard 查尔斯·赫顿 [ 1]
...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程式的根的次方加总的规则的第一人。
Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Funkhouser, H. Gray , A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273 doi:10.2307/2299273 Vinberg, E. B. , A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4 Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6
