草稿:盒拓扑

在拓扑学中，拓扑空间的笛卡尔积上有数种不同可行的拓扑。其中一个较自然的选择是盒拓扑，其中基由组件空间中开集的笛卡尔积给出。 另一种选择是乘积拓扑，其中基也由组件空间中开集的笛卡尔积给出，但其中只有有限个开集严格小于整个组件空间。

虽然盒拓扑的定义比乘积拓扑更直观，但它满足的性质较少。特别地，如果所有组件空间都是紧凑的，则它们的笛卡尔积上的盒拓扑不一定是紧凑的，而它们的笛卡尔积上的乘积拓扑始终是紧凑的。一般而言，盒拓扑比乘积拓扑更精细，尽管在有限乘积的情况下（或当除了有限多个因子之外的所有因子都是平凡的时候），两者是一致的。

定义

对于$X$使得

$X:=\prod _{i\in I}X_{i},$

或拓扑空间的（可能是无限的）笛卡尔积$X_{i}$ ，索引为$i\in I$ ，盒子拓扑$X$由基

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}.$

生成。盒子这个名字来自于$\mathbb {R} ^{n}$的情况，其中基中的开集看起来像盒子。乘积公间$\prod _{i\in I}X_{i}$的盒拓扑的有时用${\underset {i\in I}{\square }}X_{i}$表示。

性质

考虑$\mathbb {R} ^{\omega }$上的盒拓扑：

• 盒拓扑是完全规则的
• 盒子拓扑既不紧凑也不连通
• 盒子拓扑不是第一可数的（因此不是可度量的）
• 盒子拓扑不可分离
• 如果连续统假设成立，则盒子拓扑是仿紧的（因此是正则的和完全正则的）

与积拓扑比较

乘积拓扑中基中的开集的定义与上述盒拓扑几乎相同，除了有一个限制：除了有限个U _i之外，其他分量开集都等于分量空间X _i 。

乘积拓扑满足关于分量空间的映射$f_{i}:Y\rightarrow X_{i}$的一个非常理想的性质：由分量函数f _i定义的乘积映射f : Y → X是连续的当且仅当所有的f _i都是连续的。然而这在盒拓扑中不总是成立。这使盒拓扑非常适用于构造反例—许多特性，例如紧凑性、连通性、可度量性等。即使所有因子空间都具有这些特性，在盒拓扑中通常不会保留。

参考文献

• Steen, Lynn A.和Seebach, J. Arthur Jr.；拓扑学中的反例，Holt, Rinehart 和 Winston (1970)。ISBN 0030794854国际标准书号 0030794854 。

外部链接

• Box topology. PlanetMath.