相对论 性的自由粒子 的薛定谔方程式 为
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
Ψ
(
x
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \Psi (x,\ t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\ t)\,\!}
其中，
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
约化普朗克常数 ，
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,\ t)\,\!}
波函数 ，
x
{\displaystyle x\,\!}
t
{\displaystyle t\,\!}
这薛定谔方程式的解答是一个平面波 ：
Ψ
(
x
,
t
)
=
e
i
(
k
x
−
ω
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}\,\!}
其中，
k
{\displaystyle k\,\!}
波数 ，
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
角频率 。
根据德布罗意假说 ，自由粒子的波数与动量的关系是
p
=
ℏ
k
{\displaystyle p=\hbar k\,\!}
可是，
k
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
i
∂
∂
x
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle k\Psi (x,t)={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!}
因此，
p
Ψ
(
x
,
t
)
=
ℏ
i
∂
∂
x
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle p\Psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!}
所以，我们可以认定动量算符为
p
^
=
ℏ
i
∂
∂
x
{\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!}
你上面引用p=hk 那是测量后的结果吧?
后来那些推导指式表示还是实际的测量 量p
算子才能和一个线性的算子扯上关系
请原编辑者把书念好!不要乱写!
P
^
=
h
/
i
d
d
x
{\displaystyle {\hat {P}}=h/i{\frac {d}{dx}}}
p
=
ℏ
k
{\displaystyle p=\hbar k}
P
^
=
ℏ
i
d
d
x
{\displaystyle {\hat {P}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}}
为了要达到此目标，势必要令
p
^
ψ
k
(
x
)
=
ℏ
i
∂
∂
x
ψ
k
(
x
)
=
ℏ
i
∂
∂
x
e
i
k
x
=
ℏ
k
e
i
k
x
=
p
ψ
k
(
x
)
{\displaystyle {\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!}
所以，可以认定动量算符的形式为
p
^
=
ℏ
i
∂
∂
x
{\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!}
你不觉得这样推导是在凑答案 吗? 动量算符的推导应该要由古典的平移观念推展开来. 对一个系统进行平移 的动作,对称性仍然维持,譬如当你做客把东主的花瓶转了一圈,花瓶的花纹还是被转了回来.:对称不变性(invariance),这是物理普遍的现象不是吗? 动量算符的严密推导要由平移算符开始,没有那么简单.
一个非相对论 性的自由粒子 的薛定谔方程式 为
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
Ψ
(
x
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \Psi (x,\ t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\ t)\,\!}
其中，
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
约化普朗克常数 ，
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,\ t)\,\!}
波函数 ，
x
{\displaystyle x\,\!}
t
{\displaystyle t\,\!}
这薛定谔方程式的解答是一个平面波 ：
Ψ
(
x
,
t
)
=
e
i
(
k
x
−
ω
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}\,\!}
其中，
k
{\displaystyle k\,\!}
波数 ，
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
角频率 。
根据德布罗意假说 ，自由粒子的波数与动量的关系是
p
=
ℏ
k
{\displaystyle p=\hbar k\,\!}
可是，
k
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
i
∂
∂
x
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle k\Psi (x,t)={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!}
因此，
p
Ψ
(
x
,
t
)
=
ℏ
i
∂
∂
x
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle p\Psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!}
所以，我们可以认定动量算符为
p
^
=
ℏ
i
∂
∂
x
{\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!}
这个推导是正确的吗? 我不相信! 理由很简单,跟Shankar的说法差异太大!
台湾中正物理所某位研究生留
p
=
m
d
x
d
t
{\displaystyle p=m{\frac {dx}{dt}}\,\!}
在量子力学里，修正: 经由[Ehrenfest theorem]的古典极限,我们知道:
⟨
p
⟩
=
m
d
d
t
⟨
x
⟩
{\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!}
假设这是正确的(修正: 本来就是正确的啊!原编辑者没有把Ehrenfest定理念熟!)，那么，用积分方程式来表达，
⟨
p
⟩
=
m
d
d
t
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
x
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!}
其中，
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,\,t)\,\!}
波函数 。
==经典极限==
在经典极限[ 1]
⟨
−
∂
V
(
x
)
∂
x
⟩
≈
−
∂
V
(
⟨
x
⟩
)
∂
⟨
x
⟩
{\displaystyle \left\langle -\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx -\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}\,\!}
d
d
t
⟨
x
⟩
=
⟨
v
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle \,\!}
d
d
t
⟨
p
⟩
=
−
∂
V
(
⟨
x
⟩
)
∂
⟨
x
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}\,\!}
这组量子运动方程式，精确地对应于经典力学的运动方程式：
d
x
d
t
=
v
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v\,\!}
d
p
d
t
=
−
∂
V
(
x
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\,\!}
取“经典极限”，量子力学 的定律 约化为经典力学 的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理 。让我们导引这经典极限是什么？标记
V
′
(
x
)
{\displaystyle V\,'(x)\,\!}
∂
V
(
x
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\,\!}
泰勒展开
V
′
(
x
)
{\displaystyle V\,'(x)\,\!}
⟨
x
⟩
{\displaystyle \langle x\rangle \,\!}
V
′
(
x
)
=
V
′
(
⟨
x
⟩
)
+
(
x
−
⟨
x
⟩
)
V
″
(
⟨
x
⟩
)
+
1
2
(
x
−
⟨
x
⟩
)
2
V
‴
(
⟨
x
⟩
)
+
…
{\displaystyle V\,'(x)=V\,'(\langle x\rangle )+(x-\langle x\rangle )V\,''(\langle x\rangle )+{\frac {1}{2}}(x-\langle x\rangle )^{2}V\,'''(\langle x\rangle )+\ \dots \,\!}
由于
⟨
x
−
⟨
x
⟩
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x-\langle x\rangle \rangle =0\,\!}
⟨
x
−
⟨
x
⟩
⟩
2
=
σ
x
2
{\displaystyle \langle x-\langle x\rangle \rangle ^{2}=\sigma _{x}^{2}\,\!}
⟨
∂
V
(
x
)
∂
x
⟩
≈
∂
V
(
⟨
x
⟩
)
∂
⟨
x
⟩
+
1
2
σ
x
2
∂
3
V
(
⟨
x
⟩
)
∂
⟨
x
⟩
3
{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ {\frac {\partial ^{3}V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle ^{3}}}\,\!}
这近似方程式右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，我们就可以取经典极限。而这误差项目的大小相依于两个数量。一个是量子态对于位置的不可确定性；另一个则是位势随着位置而变化的快缓。
之前提及的:
p
=
m
d
x
d
t
{\displaystyle p=m{\frac {dx}{dt}}\,\!}
我之所以说这正确,而非假设是正确,是因为什么? 因为基于以上文字的叙述。当期望值vs.横坐标的分布很窄的时候,不用积分了。量子力学中不是在算期望值的时候会用到积分吗? 当那些分布不用积分的时候,表示退化成古典力学了。所以并不是要去假设他是正确的才能不能用。
你了解我说的意思吗? 如有问题欢迎讨论一番。
^ Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238
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