上積
代數拓撲中,上積或杯積(cup product)是將兩個度為p和q的上循環聯接起來,形成度為p+q的複合循環的方法。這定義了上同調中的結合(與分散)分次交換積,將空間X的上同調轉變為分次環,稱作上同調環。上積由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大、愛德華·切赫與哈斯勒·惠特尼於1935–1938年間提出,1944年塞繆爾·艾倫伯格給出了一般定義。
定義
奇異上同調中,上積構造給出了拓撲空間X的分次上同調環 上的積。
構造始於上鏈之積:若 是p上鏈,且 是q上鏈,則
其中σ是奇異 -單純形, , 是S張成的單純形規範嵌入 -單純形,後者的頂點索引為 。
非正式地, 是σ的第p個正面(front face), 是σ的第q個背面(back face)。
上鏈 與 的上積的上邊緣(coboundary)為
兩個上循環的上積仍是上循環,上邊緣與上循環(任意順序)的積仍是上邊緣。上積在上同調中引入了雙線性運算
性質
上同調中的上積滿足以下特性
因此相應的乘法是分次交換的。
上積的函子性體現在以下方面:若
是連續函數,
是上同調中的誘導同態,則
對 中所有類α、β。也就是說,f *是(分次)環同態。
解釋
可將上積 視作由下面的組合誘導而來:
以 與 的鏈復形表示,其中第一個映射是克奈映射,第二個映射由對角 誘導。
這個構成傳給商,便給出了良定義的上同調映射,這就是上積。這種方法解釋了上同調上積的存在,但沒有解釋同調上積: 誘導了映射 ,但還會誘導映射 ,後者與我們定義積的方法相反。不過,這在定義下積時是有用的。
上積的這種表達體現了雙線性,即 ;
例子
上積可用來區分流形和具有相同上同調群的空間之楔。空間 與環面T具有相同的上同調群,但具有不同的上積。在X的情況下,與 相關的上鏈的乘法是退化的;而在T中,第一個上同調群中的乘法可用於將環面分解為2胞圖,從而使積等於Z(更一般地說是M,此處是基模)。
其他定義
上積與微分形式
在德拉姆上同調中,微分形式的上積由楔積導出。即,兩個閉微分形式的楔積屬於兩個原德拉姆類的上積的德拉姆類。
上積與幾何相交
對於定向流形,有幾何啟發式,即「上積與相交是對偶的」。[1][2]
令 為 維定向光滑流形。若兩個余維分別是i、j的子流形 橫截著交,那麼它們的交 又是余維是i + j的子流形。將這些流形的基本同調類的像置於包含(inclusion)之中,就可以得到同調上的雙線性積,與上積是龐加萊對偶的,即取龐加萊對 則有以下等式:
.[1]
同樣,環繞數也可用交來定義,將維數移動1,或者用鏈之補上的非零上積來定義。
梅西積
上積是二元運算。可以定義三元甚至多元的高階運算,稱作梅西積,是上積的推廣。它是一種高階上同調運算,目前只定義了一部分(只定義了部分三元運算)。
另見
參考文獻
- ^ 1.0 1.1 Hutchings, Michael. Cup Product and Intersections (PDF). (原始內容存檔 (PDF)於2023-03-08).
- ^ Ciencias TV, Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), 2016-12-10 [2018-04-26], (原始內容存檔於2021-12-21)
- James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
- Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
- Allen Hatcher, "Algebraic Topology (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0