五維正六胞體

五維正六胞體(Hexateron)或稱正六超胞體(Hexateron)是3個五維凸正多超胞體之一,一種自身對偶的五維多胞體,是五維的單體,四維正五胞體、三維正四面體、二維正三角形的五維類比。由6個正五胞體胞、15個正四面體胞、20個正三角形面、15條棱、6個頂點組成。它的二超胞角是cos−1(1/5),約等於78.46°。正如其它維的正單體一樣,正六超胞體可以被看作是正五胞體的稜錐,即正五胞體稜錐,它由一個正五胞體底面一個與正五胞體5個頂點距離都相等且等於正五胞體棱長的頂點相連而成,正五胞體的正四面體胞與頂點相連成為5個正四面體稜錐(即正五胞體)側面。

五維正六胞體
(6-超胞)
5-體
類型五維正多胞體
家族單體
維度5
對偶多胞形自身對偶
類比正四面體
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
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施萊夫利符號{3,3,3,3}
{3,3,3}x{}
{3,3}x{1}
{3,3}x{}x{}
{3}x{3}x{}
{3}x{}x{}x{}
{}x{}x{}x{}x{}
性質
四維6 {4,3,3}
15 (3.3.3)
20 {3}
15
頂點6
特殊面或截面
皮特里多邊形六邊形
組成與佈局
頂點圖
正五胞體
對稱性
對稱群BC5, [3,3,3,3]
特性

幾何性質

正六超胞體的頂點處有5條棱相交,應此它的頂點圖正五胞體,在它的棱處有4個正五胞體維脊相交,應此它的棱圖正四面體。它有施萊夫利符號{3,3,3,3},考斯特-迪肯符號         ,它像其它正單體一樣是自身對偶的。 對於一個邊長為a的正六超胞體,其超胞積是 ,表胞積是 ,高是 。 若一個正六超胞體的棱長為1,則其外接五維超球的半徑為 ,內切五維超球的半徑為 


坐標系

為了得到正六超胞體的頂點坐標,我們可以將其看作是由正五胞體和一個與正五胞體5個頂點距離都相等且等於正五胞體棱長的頂點相連而成。經過計算之後,我們便可將棱長為2,中心在五維直角坐標系原點的正六超胞體頂點坐標表示為:

 
 
 
 
 

如果我們將正六超胞體當作是位於六維直角坐標系中的超平面,則正六超胞體的頂點坐標可以簡單地表示為(0,0,0,0,0,1)或者(0,1,1,1,1,1)的全排列,這樣的正六超胞體實則是六維正軸體(前者)或者截半六維超正方體(後者)的一個表面。

對稱群構造

作為五維的正單體,一個五維凸正多超胞體,它具有A5考克斯特平面對應的對稱群構造,對應施萊夫利符號{3,3,3,3},考斯特-迪肯符號         。同時,它可被看作是四維正五胞體的稜錐,只具有A4對應對稱性。

圖像

五維正六胞體可以以自身的對稱性被平行投影到2維平面上:

正交投影
Ak
考克斯特平面英語Coxeter plane
A5 A4
圖像    
二面體對稱群 [6] [5]
Ak
考克斯特平面英語Coxeter plane
A3 A2
圖像    
二面體對稱群 [4] [3]
 
正六超胞體的五維到四維施萊格爾圖像英語Schlegel diagram的四維到三維球極投影的三維到二維透視投影

相關連結

參考文獻

  • T. GossetOn the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions,Messenger of Mathematics,Macmillan,1900
  • H.S.M.考克斯特
    • 考克斯特,Regular Polytopes,(第三版,1973),Dover edition,ISBN 0-486-61480-8,p.296,Table I (iii):Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
    • H.S.M.考克斯特,Regular Polytopes,第三版,Dover New York,1973,p.296,Table I (iii):Regular Polytopes,three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
    • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter,editied by F. Arthur Sherk,Peter McMullen,Anthony C. Thompson,Asia Ivic Weiss,Wiley-Interscience Publication,1995,ISBN 978-0-471-01003-6 [1]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
      • (第22頁) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (第23頁) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (第24頁) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • John H. Conway,Heidi Burgiel,Chaim Goodman-Strass,The Symmetries of Things 2008,ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)
  • 諾曼·詹森英語Norman Johnson (mathematician) Uniform Polytopes,Manuscript (1991)
    • N.W.詹森: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs,Ph.D. (1966)
  • Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o3o - hix. bendwavy.org. 
五維正多胞體
五維正六胞體 五維超正方體 五維正三十二胞體
{3,3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4}