充分必要條件

描述兩個語句之間的條件關係的術語

充分必要條件,簡稱充要條件,是邏輯學中用於描述兩個陳述之間的條件關係或包含關係的術語。

處於紫色區域是處於A區域的充分條件,但並非必要條件;處於A區域是處於紫色區域的必要條件,但並非充分條件;處於A和B區域是處於紫色區域的充分必要條件。

邏輯學中:

  • 當命題「若P則Q」為真時,P稱為Q的充分條件,Q稱為P的必要條件

因此:

  • 當命題「若P則Q」與「若Q則P」皆為真時,P是Q的充分必要條件,同時,Q也是P的充分必要條件
  • 當命題「若P則Q」為真,而「若Q則P」為假時,我們稱P是Q的充分不必要條件,Q是P的必要不充分條件,反之亦然。

必要條件

P是Q的必要條件,代表「如果P是假,則Q是假」。

邏輯符號表示:

 

通過否定後件,得出「如果Q是真,則P是真」。

 
  • 例子1:對於大於2的整數,奇數是成為質數的必要條件。如果一個整數大於2且是質數,它必定是奇數。
  • 例子2:年滿30歲是成為美國參議員的必要條件。如果他是參議員,他必定年滿30歲。

充分條件

P是Q的充分條件,代表「如果P是真,則Q是真」或「如果Q是假,則P是假」。

邏輯符號表示:

 
  • 例子1:一個數字能被4整除,是成為偶數的充分(但不必要)條件。能被2整除,則是充分及必要條件。

必要條件及充分條件

P是Q的充分及必要條件,代表「若且唯若P是真,則Q是真」。

邏輯符號表示:

 

留意   可以推出  

 
 
 

舉例

1.若P表「人類生存」,Q表「人類呼吸」

 
 
此時呼吸是生存的必要條件,生存是呼吸的充分條件,因為活著的人一定要呼吸,
 (錯誤)
然而呼吸並非生存的充分條件,生存並非呼吸的必要條件,因為只會呼吸並不足以讓人生存下去,
故P為Q的充分不必要條件,Q是P的必要不充分條件

2.若P表「三角形三邊長相等」,Q表「三角形三內角相等」

 
此時這2個條件互為「充分(且)必要條件」。[1]

3.若P表「正整數x是完全平方數」,Q表「正整數x的正因數個數是奇數」

 
此時這2個條件互為「充分(且)必要條件」。

參考文獻

  1. ^ 充分條件Sufficient Condition. 國家教育研究院. 新北市三峽區: 中華民國教育部. [2014-06-19]. (原始內容存檔於2021-06-06). 

參見

外部鏈接