全微分方程式

全微分方程式常微分方程式的一種,它在物理學工程學中廣泛使用。

定義

給定R2的一個單連通開子集D和兩個在D連續的函數IJ,那麼以下形式的一階常微分方程式

 

稱為全微分方程式,若且唯若存在一個連續可微的函數F,稱為勢函數,使得

 

以及

 

「全微分方程式」的命名指的是函數的全導數。對於函數 ,全導數為:

 

例子

函數

 

是以下全微分方程式的勢函數。

 

勢函數的存在

在物理學的應用中,IJ通常不僅是連續的,也是連續可微的。施瓦茨定理(也稱為克萊羅定理)提供了勢函數存在的一個必要條件。對於定義在單連通集合上的微分方程式,這個條件也是充分的,我們便得出以下的定理:

給定以下形式的微分方程式:

 

其中IJR2的單連通開子集D上是連續可微的,那麼勢函數F存在,若且唯若下式成立:

 

全微分方程式的解

給定一個定義在R2的單連通開子集D上的全微分方程式,其勢函數為F,那麼D內的可微函數f是微分方程式的解,若且唯若存在實數c,使得

 

對於初值問題

 

我們可以用以下公式來尋找一個勢函數:

 

解方程式

 

其中c是實數,我們便可以構造出所有的解。

參見

參考文獻

  • Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
  • Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
  • Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.