在數學中,凸共軛(英語:convex conjugate)是勒讓德變換的一種推廣;凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換(Legendre–Fenchel transformation),以阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。
定義
函數 在擴展的實數軸上取值。
它的凸共軛定義為:
這裡, 表示實賦範向量空間, 表示 的對偶空間。
映射 表示一個二次型,滿足:對於 ( )中任意非零元素 ,總能在 (對應地, )中找到一個元素 使得 。
例子
- 仿射變換 ;它的凸共軛是:
- 冪函數 ;它的凸共軛是:
這裡
- 絕對值變換 ;它的凸共軛是:
;它的凸共軛是:
性質
逆序性
如果 ,那麼就有 。這裡的 指,對定義域中所有元素 ,都有 成立。
半連續性與兩次凸共軛
函數 的凸共軛總具有半連續性,因此函數 的兩次共軛 也具有半連續性。同時, 還是是閉凸包,也即最大的凸的半連續函數,滿足 。
由Fenchel-Moreau定理可以知道,對於合適的函數 , 若且唯若 是半連續的凸函數。
Fenchel不等式
, 這裡 , 是 的凸共軛。
凸性
凸共軛算子自身是凸的,即:
取函數 , 間任意實數 ,有: 成立。
最小值卷積
對於兩個函數f和g,它們的最小值卷積被定義為
-
如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半連續的函數。那麼它們的最小值卷積是凸且半連續的(但不一定proper),並且滿足關係
-
兩個函數的最小值卷積具有幾何意義。兩個函數的最小值卷積的超圖是這兩個函數的超圖的閔可夫斯基和