分岔理論

分岔理論或分歧理論（bifurcation theory）是數學中研究一群曲線在本質或是拓撲結構上的改變。一群曲線可能是向量場內的積分曲線（英語：Integral curve），也可能是一群類似微分方程的解。

分岔（bifurcation）常出現在動態系統的數學研究中，是指系統參數（分岔參數）小而連續的變化，結果造成系統本質或是拓撲結構的突然改變^[1]。分岔會出現在連續系統（以常微分方程、時滯微分方程或偏微分方程來描述）或是離散系統中（以映射來描述）。

bifurcation一詞最早是由儒勒·昂利·龐加萊在1885年的論文中提出，這也是第一篇提到類似特性的數學論文^[2]，龐加萊後來也為許多不同的駐點命名而且分類。

分岔類型

分岔可以分為以下的二種類型：

局部分岔（Local bifurcations）是指分岔特性可以用局部穩定性完全分析的分岔，一般會用參數通過臨界值時，平衡點、週期性軌跡或其他固定點的局部穩定性。
全域分岔（Global bifurcations）是指分岔特性無法用局部穩定性完全分析的分岔，一般是指較大的不變集彼此重疊，或是和系統的平衡點重疊，這無法只靠平衡點的穩定性分析來求得。

局部分岔

逐漸變成有序的週期對半分岔（L），之後是逐漸變成混沌的週期加倍分岔（R）

局部分岔是指因參數變化，因此改變平衡點（或是不動點）穩定性的情形，對應平衡點特徵值的實部由正變負或是由負變正，在離散系統中（會由映射描述），是指不動點其弗洛凱乘子的模為1。這二種情形下，平衡點在分岔時都是非雙曲線的。

局部分岔有一個特性，只要控制分岔參數，可以將系統相圖中的拓樸變化限制在分岔點附近任意小的區域中，因此稱為局部分岔。

考慮用以下常微分方程描述的連續動態系統

{\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}.

若在 $(x_{0},\lambda _{0})$ 位置的雅可比矩陣 ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ 有實部為0的特徵值，表示在此點有局部分岔。若特徵值為0，表示此分岔為穩態的分岔，但若特徵值為虛數，表示是霍普夫分岔。

若是離散系統

x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.

若在 $(x_{0},\lambda _{0})$ 的矩陣 ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ 有模數為1的特徵值，表示有局部分岔。若特徵值等於1，分岔可能是鞍結分岔（英語：saddle-node bifurcation）、跨臨界分岔（英語：transcritical bifurcation）或叉式分岔（英語：pitchfork bifurcation），若特徵值等於-1，表示是週期加倍分岔（英語：period-doubling bifurcation），否則則為霍普夫分岔。

局部分岔的例子有：

鞍結分岔（英語：saddle-node bifurcation）（fold分岔）
跨臨界分岔（英語：transcritical bifurcation）
叉式分岔（英語：pitchfork bifurcation）
週期加倍分岔（英語：period-doubling bifurcation）（flip分岔）
霍普夫分岔
Neimark–Sacker分岔（二次霍普夫分岔）

全域分岔

全域分岔是指較大的不變集（如週期性軌跡）和平衡點重疊。全域分岔也會改變相圖上的拓樸，而且其變化不會像局部分岔一様限制在一個小區域，因此稱為全域分岔。

全域分岔的例子有：

同宿分岔（英語：Homoclinic bifurcation）是指極限環和一個鞍點重疊。
異宿分岔（英語：Heteroclinic bifurcation）是指極限環和二個或多個鞍點重疊。
無限週期分岔（英語：Infinite-period bifurcation）是指在極限環上有穩定節點和鞍點同時出現。
藍天突變（英語：Blue sky catastrophe）是指極限環和一個nonhyperbolic cycle重疊。

全域分岔有時會和像奇異吸引子之間更複雜的結構有關，如一種稱為危機（英語：Crisis (dynamical systems)）的現象就是指當動態系統的參數變化時，奇異吸引子突然出現或是突然消失。

分岔的餘維數

分岔的餘維數是指動態系統中需變動幾個參數，才會使分岔現象出現。鞍結分岔及霍普夫分岔是常見的局部分岔中，實際餘維數為1的二個分岔（其他分岔的餘維數都大於1）。不過跨臨界分岔及叉式分岔的正規式可以寫成只有一個參數的形式，因此也可以視為餘維數為1的分岔。

Bogdanov-Takens分岔（英語：Bogdanov–Takens bifurcation）是一個有較多研究，餘維數為2分岔的一個例子。

在半經典力學及量子力學上的應用

分岔理論已用在連結量子系統及經典力學系統的動態中，可以用在原子系統^[3]^[4]^[5]、分子系統^[6]及諧振隧穿二極體^[7]。分岔理論已用到雷射動力學^[8]的研究中，也用在許多在實驗上難以處理的理論例子中，例如kicked top^[9]及耦合量子阱^[10]。將量子系統及古典力學運動方程中分岔相連結的主要原因是在分岔時，古典力學軌道的signature會變大，正如Martin Gutzwiller（英語：Martin Gutzwiller）在有關量子混沌（英語：quantum chaos）中的研究所提出的一樣^[11]^[12]。許多分岔都研究來連結古典力學和量子力學，像是鞍結分岔、霍普夫分岔、umbilic分岔、週期加倍分岔、重新連接分叉（reconnection bifurcation）、切線分叉（tangent bifurcation）及尖分叉（cusp bifurcation）。

參考資料

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外部連結

分枝現象與理論（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）,台灣中央研究院數學所
Nonlinear dynamics
Bifurcations and Two Dimensional Flows （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Elmer G. Wiens
Introduction to Bifurcation theory by John David Crawford

[1] Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. Differential Equations. London: Thompson. 2006: 96–111. ISBN 0-495-01265-3.

[2] Henri Poincaré. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.

[3] Gao, J.; Delos, J. B. Quantum manifestations of bifurcations of closed orbits in the photoabsorption spectra of atoms in electric fields. Phys. Rev. A. 1997, 56 (1): 356–364. Bibcode:1997PhRvA..56..356G. doi:10.1103/PhysRevA.56.356.

[4] Peters, A. D.; Jaffé, C.; Delos, J. B. Quantum Manifestations of Bifurcations of Classical Orbits: An Exactly Solvable Model. Phys. Rev. Lett. 1994, 73 (21): 2825–2828. Bibcode:1994PhRvL..73.2825P. PMID 10057205. doi:10.1103/PhysRevLett.73.2825.

[5] Courtney, Michael; Jiao, Hong; Spellmeyer, Neal; Kleppner, Daniel; Gao, J.; Delos, J. B.; et al. Closed Orbit Bifurcations in Continuum Stark Spectra. Phys. Rev. Lett. 1995, 74 (9): 1538–1541. Bibcode:1995PhRvL..74.1538C. PMID 10059054. doi:10.1103/PhysRevLett.74.1538.

[6] Founargiotakis, M.; Farantos, S. C.; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. Bifurcation diagrams of periodic orbits for unbound molecular systems: FH2. Chemical Physics Letters. 1997, 277 (5–6): 456–464. Bibcode:1997CPL...277..456F. doi:10.1016/S0009-2614(97)00931-7.

[7] Monteiro, T. S. & Saraga, D. S. Quantum Wells in Tilted Fields:Semiclassical Amplitudes and Phase Coherence Times. Foundations of Physics. 2001, 31 (2): 355–370. doi:10.1023/A:1017546721313.

[8] Wieczorek, S.; Krauskopf, B.; Simpson, T. B. & Lenstra, D. The dynamical complexity of optically injected semiconductor lasers. Physics Reports. 2005, 416 (1–2): 1–128. Bibcode:2005PhR...416....1W. doi:10.1016/j.physrep.2005.06.003.

[9] Stamatiou, G. & Ghikas, D. P. K. Quantum entanglement dependence on bifurcations and scars in non-autonomous systems. The case of quantum kicked top. Physics Letters A. 2007, 368 (3–4): 206–214. Bibcode:2007PhLA..368..206S. arXiv:quant-ph/0702172  . doi:10.1016/j.physleta.2007.04.003.

[10] Galan, J.; Freire, E. Chaos in a Mean Field Model of Coupled Quantum Wells; Bifurcations of Periodic Orbits in a Symmetric Hamiltonian System. Reports on Mathematical Physics. 1999, 44 (1–2): 87–94. Bibcode:1999RpMP...44...87G. doi:10.1016/S0034-4877(99)80148-7.

[11] Kleppner, D.; Delos, J. B. Beyond quantum mechanics: Insights from the work of Martin Gutzwiller. Foundations of Physics. 2001, 31 (4): 593–612. doi:10.1023/A:1017512925106.

[12] Gutzwiller, Martin C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer-Verlag. 1990. ISBN 0-387-97173-4.

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