博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。
設A(z) 是z 的一個形式冪級數
A
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
z
k
{\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}
則定義A 的博雷爾變換 為其等價冪級數
B
A
(
t
)
≡
∑
k
=
0
∞
a
k
k
!
t
k
{\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}}
設An (z) 為下列部分和 ：
A
n
(
z
)
=
∑
k
=
0
n
a
k
z
k
{\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}
博雷爾和的一種較弱的形式定義A 的博雷爾和為
lim
t
→
∞
e
−
t
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
A
n
(
z
)
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z)}
若此極限在某個z ∈ C 時收斂至a(z) ，則稱A 的弱博雷爾和 收斂於z ，並記為
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
w
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}
假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分 有意義，則A 的博雷爾和 定義為
∫
0
∞
e
−
t
B
A
(
t
z
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.}
若積分在某個z ∈ C 時收斂於a(z) ，則稱A 的博雷爾和在z 收斂，並記為
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}
實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有t 都收斂，只需在0附近收斂為t 的一個解析函數 ，且它在正半軸上解析連續 即可。
(B )和(wB )兩者都是正定的求和法，意味著若A(z) 收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：
∑
k
=
0
∞
a
k
z
k
=
A
(
z
)
<
∞
⇒
∑
a
k
z
k
=
A
(
z
)
(
B
,
w
B
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}})}
(B )的正定性容易由下式看出，若A(z) 在z 收斂，則
A
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
z
k
=
∑
k
=
0
∞
a
k
(
∫
0
∞
e
−
t
t
k
d
t
)
z
k
k
!
=
∫
0
∞
e
−
t
∑
k
=
0
∞
a
k
(
t
z
)
k
k
!
d
t
{\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt}
其中最右式正是原級數在z 處的博雷爾和。
(B )和(wB )的正定性代表了此方法可以提供A(z) 的解析延拓。
對任意的級數A(z) ，若它在z ∈ C 處是弱博雷爾可求和的 ，則必定是博雷爾可求和的 。然而，可以構造 一個例子 ，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。
定理 (Hardy 1992 ，8.5)設A(z) 是一個形式冪級數，並限定z ∈ C ，則：
若
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
w
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
,
(
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z),({\boldsymbol {B}})}
若
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}
lim
t
→
∞
e
−
t
B
A
(
z
t
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0}
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
w
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}
(B ) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
(wB ) 可視為廣義歐拉求和法 (E ,q) 一個有限制的形式，其中
q
→
∞
{\displaystyle q\rightarrow \infty }
[ 1]
考慮幾何級數
y
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
{\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}}
當 |z | < 1時，收斂到 1/(1 − z )。它的博雷爾變換為
B
y
(
t
)
≡
∑
k
=
0
∞
1
k
!
t
k
=
e
t
{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}}
因此，上述級數的博雷爾和為
∫
0
∞
e
−
t
B
y
(
t
z
)
d
t
=
∫
0
∞
e
−
t
e
t
z
d
t
=
1
1
−
z
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}
然而，這個積分能在更大的範圍 Re(z ) < 1 內收斂到 1/(1 − z )，也就是原級數的和。
另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為AN (z) = (1-zN+1 )/(1-z) ，因此其弱博雷爾和為
lim
t
→
∞
e
−
t
∑
n
=
0
∞
1
−
z
n
+
1
1
−
z
t
n
n
!
=
lim
t
→
∞
e
−
t
1
−
z
(
e
t
−
z
e
t
z
)
=
1
1
−
z
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}}}
同樣在Re(z ) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(z ) < 1，
lim
t
→
∞
e
−
t
(
B
A
)
(
z
t
)
=
e
t
(
z
−
1
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0}
級數
y
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
k
!
(
−
1
⋅
z
)
k
{\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!\left(-1\cdot z\right)^{k}}
對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為
B
y
(
t
)
≡
∑
k
=
0
∞
(
−
1
⋅
t
)
k
=
1
1
+
t
{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}
對任意的|t | < 1 都成立，且於 t ≥ 0 上解析連續。
因此，上述級數的博雷爾和為
∫
0
∞
e
−
t
B
y
(
t
z
)
d
t
=
∫
0
∞
e
−
t
1
+
t
z
d
t
=
1
z
⋅
e
1
z
⋅
Γ
(
0
,
1
z
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{\frac {1}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}
（其中Γ是指不完全Γ函數 ）
這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和 的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出「正確」的發散漸近展開式。
以下是(Hardy 1992 ，8.5)所給出的例子的一個擴展。考慮
A
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
(
∑
l
=
0
∞
(
−
1
)
l
(
2
l
+
2
)
k
(
2
l
+
1
)
!
)
z
k
.
{\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}.}
交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為
B
A
(
t
)
=
∑
l
=
0
∞
(
∑
k
=
0
∞
(
(
2
l
+
2
)
t
)
k
k
!
)
(
−
1
)
l
(
2
l
+
1
)
!
=
∑
l
=
0
∞
e
(
2
l
+
2
)
t
(
−
1
)
l
(
2
l
+
1
)
!
=
e
t
∑
l
=
0
∞
(
e
t
)
2
l
+
1
(
−
1
)
l
(
2
l
+
1
)
!
=
e
t
sin
(
e
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2l+2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin \left(e^{t}\right).\end{aligned}}}
在 z = 2 處，可求得博雷爾和為
∫
0
∞
e
t
sin
(
e
2
t
)
d
t
=
∫
1
∞
sin
(
u
2
)
d
u
=
π
8
−
S
(
1
)
<
∞
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})du={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}-S(1)<\infty ,}
其中 S(x) 表示菲涅耳積分 。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉（但顯然積分對 z > 2發散）。
至於求弱博雷爾和時，注意到
lim
t
→
∞
e
(
z
−
1
)
t
sin
(
e
z
t
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0}
僅對 z < 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。
^ Hardy, G. H. (1992). Divergent Series . AMS Chelsea, Rhode Island.
Borel, E., Mémoire sur les séries divergentes , Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 1899, 16 : 9–131 [2013-05-25 ] , （原始內容存檔 於2018-10-04） Glimm, James; Jaffe, Arthur, Quantum physics 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag , 1987, ISBN 978-0-387-96476-8MR 0887102 Hardy, Godfrey Harold , Divergent Series , New York: Chelsea, 1992 [1949], ISBN 978-0-8218-2649-2MR 0030620 Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, ISBN 978-0-12-585004-9MR 0493421 Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan, Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen, 1960, MR 0113988 Weinberg, Steven , The quantum theory of fields. Vol. II, Cambridge University Press , 2005, ISBN 978-0-521-55002-4MR 2148467 
