外代數(英語:Exterior algebra)也稱為格拉斯曼代數(Grassmann algebra),以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼

左圖:由向量的有序集所定義出的定向
右圖:反定向,對應到加上負號的外積
實外代數中,n 階元素的幾何詮釋:n = 0(具有正負號的點),1(具有指向的線段,即向量),2(具有定向的平面元),3(具有定向的體積)。n個向量的外積可以圖像化為n維幾何物體(例如n平行六面體, n橢球);其大小為超體積(hypervolume),其定向的定義由(n − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。[1][2]

數學上,向量空間的外代數是一個特定有單位的結合代數,其包含了為其中一個子空間。它記為. 而它的乘法,稱為楔積外積,記為. 楔積是結合的和雙線性的;其基本性質是它在上是交錯的,也就是:

,對於所有向量

這表示

,對於所有向量,以及
,當 線性相依時。

值得注意的是,以上三性質只對中向量成立,不是對代數中所有向量成立。

外代數事實上是「最一般的」滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程式只從上述屬性就可以得出。的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示,請參看下文。

形式為的元素,其中中,稱為-向量。所有-向量生成的的子空間稱為-階外冪,記為。外代數可以寫作每個階冪的直和

該外積有一個重要性質,就是-向量和-向量的積是一個-向量。這樣外代數成為一個分次代數,其中分級由給出。這些-向量有幾何上的解釋:2-向量代表以為邊的帶方向的平行四邊形,而3-向量代表帶方向的平行六面體,其邊為, , 和

外冪的主要應用在於微分幾何,其中他們用來定義微分形式。因而,微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

定義及運算律

外代數有很多種等價的定義,下面的定義是最簡潔的一個。

定義: 是域  上的一個向量空間,讓 則定義

 

  張量代數理想(即雙邊理想),該理想是由所有形如 的張量生成的(其中 任意),則將 上的外代數 定義為商代數 ,即

 

並且把 等價類[3]  記為 ,其中  。設 

 

  -階外冪 th exterior power of  ),稱 中的元素為 -向量 -multivector)。

註:

  1.  ,若且唯若 時才有 ,因此,可以把 等同於 ,並且把 記為 ;基於類似的原因,可以把 等同於 ,而且把 記為 。這一點是前面所講的能夠把 記為  的特例和前提。
  2.  時, -向量並不僅限於形如 的元素,例如, 也是2-向量,其中 .
  3. 理想 中的元素並不僅限於形如 的張量,例如,
    1.  , 必定有   .
    2.  , 由於  以及 ,顯然有 ,這就有一個推論:所有的二階對稱張量都在理想 中。
    3. 由於上面的兩個結論, ,我們有 ,這是因為等式右邊的每一項都在 中。對張量 的階數作數學歸納法,則可以證明: ,  ,總有 
  4.  ,則  作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元 ,可以把這個 -階的完全反對稱張量等同於 , 詳見後面的「反對稱算子和外冪」一節。在有些文獻中, -向量就是以這種方式定義的。

運算律 將上面的注中的內容用 寫出,則分別給出

(1)  ,  

證明如下: 作為等價類,我們從 中任意挑選一個代表元 ,則 而且 。根據商代數的定義,

 

類似地,可以證明 

(2) 根據注3.1中的內容,顯然有 .

(3) 根據注3.2中的內容,對任意 成立著

 

註:即使 特徵為2,這個公式也是對的,只不過此時有 而已。

(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質,運算 滿足結合律分配律

 
 
 

其中 都是任意的。

以前兩條性質為例,其證明如下:設張量 分別是 中的代表元,即 ,  ,  , 則

 
 

(5) 根據上面的(3)和(4),用數學歸納法可以證明: 

 

證明從略。

基底和維數

 維數   ,則集合

 

 階外冪 的一個基。理由如下:給定任何如下形式的楔積

 

則每個向量 可以記為基向量 的一個線性組合;利用楔積的雙線性性質,這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0;任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序,在交換任何兩個基向量的時候轉換符號。一般來講,最後基 -向量前的係數可以用通過積 來描述 矩陣子式來計算。

數一下基元素,我們可以看到 的維數是nk。特別的有,  對於 .

外代數是一個分級代數,是如下直和

 

其維數等於二項式係數之和,也就是 .

例子: 歐氏三維空間的外代數

考慮空間 ,其基為 。一對向量

 
 

的楔積為

 

其中 是三維空間 的基底。

再加一個向量

 ,

這三個向量的楔積是

 

其中 是一維空間 的基底。

空間  , 而空間  。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間 ,這是八維向量空間

 .

那麼,給定一對8維向量  , 其中 如上給出,而

 ,

  的楔積如下(用列向量表達),

 .

容易驗證8維楔積以向量 為乘法單位元素。也可以驗證該 代數的楔積是結合的(也是雙線性的):

 

所以該代數是有單位且結合的。

叉乘的實質,贗向量與贗純量

對三維歐幾里得空間 可以建立一個線性同構 如下:任取 右手的標準正交基   ,規定    分別映射為   ,則 的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出,對任意向量  ,這個線性同構把 映射為 。這就是叉乘(向量積)的實質。例如, 平行四邊形 的面積向量可以表示為 . 經過推廣之後,高維黎曼流形 中的的二維曲面 的面積則可以用

 

來計算(其中 是度規張量場  上的誘導度規   的坐標分量),由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。

在物理學中,向量極向量)與贗向量軸向量)兩個概念經常需要加以區分。從根本上說,向量是 中的元素,所以在空間反演轉換下不會改變方向;而贗向量其實是 中的元素,故在空間反演轉換下會改變方向。

類似地,藉助於右手的標準正交基,可以把 中的元素 映射為「純量" 。但是,在空間反演轉換下它就會原形畢露,所以稱它為贗純量。真正的純量在空間反演下是不變的,而贗純量在空間反演下會改變符號。

把 2-向量 映射為向量 以及把 3-向量 映射為一個實數 的映射實際上是一個叫做霍奇對偶線性映射

泛性質及構造

 為一個 (在多數應用中,也就是實數域)上的向量空間。 是「最一般」的包含 的並有一個交替乘法在 上由單位的結合 -代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達:

任給一個有單位的結合  -代數 和一個 -線性映射 使得 對於每個 屬於 成立,則存在恰好一個由單位的代數同態 使得 所有 屬於 成立。

 
外代數的泛性質

要構造最一般的包含 的代數,而且其乘法是在 上交替的,很自然可以從包含 的最一般的代數開始,也就是張量代數 ,然後通過合適的來強制交替的性質。這樣我們取 中由所有形為 的元素生成的雙邊理想 ,其中 屬於 ,並定義 

 

(並且使用  中的乘法的代號)。然後可以直接證明 包含 並且滿足上述泛性質。

如果不是先定義 然後把外冪 等同為特定的子空間,我們也可以先定義空間 然後把它們合併成為一個代數 。這個方法在微分集合中常常用到,並在下節中有描述。

反對稱算子和外冪

給定兩個向量空間  ,一個從  反對稱算子是一個多線性映射

 

使得只要  線性相依的向量,則

 .

最著名的例子是行列式值,從  的反對稱線形算子。

映射

 

它關聯 中的 個向量到他們的楔積,也就是它們相應的 -向量,這也是反對稱的。事實上,這個映射是定義在 上的「最一般」的反對稱算子:給定任何其它反對稱算子 ,存在一個唯一的線性映射 。這個泛性質表述了空間 並且可以作為它的定義。

所有從 到基體 的反對稱映射組成一個向量空間,因為兩個這樣的映射的和、或者這樣一個映射和一個純量的乘積也是反對稱的。若 是有限維的,維數 ,則該空間可以認同為 ,其中 表示 的對偶空間。特別的有,從  的反對稱映射的空間是  維的。

在這個等同關係下,若基體是 或者 ,楔積有一個具體的形式:它從兩個給定的反對稱映射得到一個新的反對稱映射。設  為兩個反對稱映射。和在多線性映射的張量積的情況一樣,楔積的變量數是每個映射的變量數之和。它定義如下:

 

其中多線性映射的交替 定義為其變量的所有排列的帶符號平均:

 

注意: 有一些書中楔積定義為

 

指標記法

在主要由物理學家使用的指標記法中有:

 

微分形式

 為一個微分流形。一個微分k-形式   餘切叢 階外冪)的一個截面。等價的有:  的光滑函數,對於 的每個點 給定一個 的元素。大致來講,微分形式是餘切向量的全局版本。微分形式是微分幾何的重要工具,其中,它們被用於定義德拉姆餘調亞歷山大-斯潘尼爾餘調

推廣

給定一個交換環 和一個 - ,我們可以定義和上文一樣的外代數 ,它是張量代數 適當的商。它會滿足類似的泛性質。

物理應用

格拉斯曼代數在物理中有重要應用,它們被用於建模和費米子超對稱性相關的各種概念。

參看超空間超代數超群

注釋

  1. ^ R. Penrose. The Road to Reality. Vintage books. 2007. ISBN 0-679-77631-1. 
  2. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 83. ISBN 0-7167-0344-0. 
  3. ^ 由下述等價關係   所形成的等價類:
     

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